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東大1S1数理科学基礎：微分積分

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    Chapter 11. 偏微分係数と接平面

    • 偏微分

      偏微分

      の 変数ひとつだけで微分する 固定してる変数は定数扱い(自明) #数学 from 定義 ∂f(x,y,z)∂x:=lim⁡δ→0f(x+δ,y,z)−f(x,y,z)δ\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}:= \lim_{\delta\to0}{\frac{f(x+\delta, y, z)-f(x,y,z)}{\delta}} ...

      1/3/2023

      の定義は知っている通り
    • ∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x}を、fxf_xと書くこともあるらしい
      • え、ダッシュとかつけないんだblu3mo.icon
      • 紛らわしいですよねtakker.icon
    • 二階偏微分は、四パターンある
      • fxx,fxy,fyx,fyyf_{xx},f_{xy},f_{yx},f_{yy}
      • まあそうね、という気持ちblu3mo.icon
    • 勾配ベクトルは、(fx(x,y),fy(x,y))T(f_x(x,y), f_y(x,y))^Tという感じ
      • これは、つまり接平面で一番急勾配な方向を表す
    • 停留点
    • 二変数関数
      • f(x,y)みたいなやつ
      • R2→Rℝ^2\to ℝの写像とも言える
    • こういう関数ならこう言う3Dグラフ形状、というパターンが色々
      • f(x,y)=ax+by+cf(x,y)=ax+by+cは平面
        • これは、平面をベクトルで定義したやつ（高校）でいける
        • image
      • f(x,y)=g(x2+y2)f(x,y)=g(\sqrt{x^2+y^2})は回転面
        • 回転面は壺みたいなイメージ、何かのグラフを回転して作れる立体
        • gには原点から(x,y)への距離が突っ込まれている
        • からので、原点から同じ距離の座標なら同じ出力
      • f(x,y)=g(x)f(x,y)=g(x)は、柱面
        • これはまあ想像しやすいな
      • 回転放物面/双曲放物面
        • f(x)=x2+y2f(x)=x^2+y^2: 回転放物面
        • f(x)=x2−y2f(x)=x^2-y^2: 双曲放物面
        • image
        • まあそりゃそうって感じの形状blu3mo.icon
        • TODO: これは三角関数と双曲線関数

          双曲線関数

          from sinh, cosh, tanh 逆数関数もsech, csch, cothとかいう sinh⁡x:=ex−e−x2\sinh x:=\frac{e^x-e^{-x}}{2}, cosh⁡x:=ex+e−x2\cosh x:=\frac{e^x+e^{-x}}{2} tanh⁡x:=sinh⁡xcosh⁡x\tanh x:=\frac{\sinh x}{\cosh x}として、$\tanh...

          1/3/2023

          に対応していそうだけど、何がどう対応している?blu3mo.icon
          • ヒント書こうと思ったけど、もろ答えになるからやめておくtakker.icon
    • f(x,y)=px2+qxy+ry2f(x,y)=px^2+qxy+ry^2を考える
      • これを平方完成すると、k(x+y)2+ly2k(x+y)^2+ly^2みたいな形になる
        • ここで、X=x+y,Y=yX=x+y, Y=yの新しい座標系を考えれば、kX2+lY2kX^2+lY^2という形式でまとめられる
          • なるほど〜blu3mo.icon
          • 線形代数を学ぶともっと複雑な式も↑の形式にまとめられると言っていた
        • ここで、kkとllが両方とも正なら回転放物面、片方が負なら双曲放物面になる (Bluemo微分積分ノート)
          • 座標系を変えてるので歪んだ形ではあるけど
    • グラフの形状把握の方法（微分を使わない時）
      • x,y軸に垂直な平面でグラフの断面を切り取る
        • x=x0+tcos⁡θ0,y=y0+tsin⁡θ0,z=f(x0+tcos⁡θ0,y0+tsin⁡θ0)x = x_0 + t \cos θ_0, y = y_0 + t\sin θ_0, z = f(x_0 + t \cos θ_0, y_0 + t\sin θ_0)の曲線が断面として得られる
      • 等高線を描く
        • zが定数の時のxとyの関係を得れば良い
      • グラフの正負を得て描く

    Chapter 6.

    • 微分方程式

      微分方程式

      from 高校の時の方程式: 代数方程式 x2+x+1=0x^2+x+1=0、みたいな 微分方程式 y′′+y′+y=0y''+y'+y=0みたいな とかは ...

      1/3/2023

    Chapter 5.

    • 高校までの範囲
      • 対数関数 <-> 指数関数
        • （厳密には関数が全単射になるように定義しないと逆関数にはならない）
          • 連続関数の時は、定義域の範囲で狭義の単調関数であれば全単射
            • 単調にもいろいろあるんだなtakker.icon
              • ∀x∈A∀a<x;f(a)<f(x)\forall x\in A\forall a<x;f(a)<f(x)くらいしか知らない(これは狭義単調増加の場合)
              • その不等号が等号を含むと問題が起きるnishio.icon
                • image
                  • 右だとf(a)とf(b)がイコールだから逆写像を作る時にaにしたらいいのかbにしたらいいのかわからなくなる
                • 広義と狭義 | 単調写像 - Wikipediaこれかtakker.icon
                • なんだ。等号の有無だけだった
                  • もちろん大事な違い
                  • なるほどblu3mo.icon
                • 単調非減少と単調増加、とテキストでは言い分けられていたblu3mo.icon
                  • この言い方の方が好きnishio.iconerniogi.icontakker.icon
                    • 「狭義」って相対的な表現だし、名前だけ見ても意味がわからない
                • てっきり一様連続みたくいろんな種類があるのかと思った
        • 実数の場合は定義域が決まっているから大丈夫takker.icon
          • exp⁡:R→R+\exp:\R\to\R_+
          • ln⁡:R+→R\ln:\R_+\to\R
            • 補足：R+:=x∈R∣x>0\R_+:={x\in\R|x>0}
          • これなら定義域の範囲で狭義単調関数、という事かblu3mo.icon
          • 複素数に拡張するとアウト
            • これは[/blu3mo/複素数のEuler Formの一般化]( https://scrapbox.io/blu3mo/複素数のEuler Formの一般化)で悩んだポイントblu3mo.icon
            • なつかしいtakker.icon
      • 三角関数 <-> 逆三角関数(arcsinとか)
        • こっちも同様の理由で定義域を制限する
        • なのでarcsinとかは定義域限られる、という話
          • これはIBで既習blu3mo.icon
          • image
        • 微分の計算も、公式は導出できる
          • y=arcsinxの時にsiny=xなので、dx/dyを求めてからひっくり返していじくり回す
    • 双曲線関数

      双曲線関数

      from sinh, cosh, tanh 逆数関数もsech, csch, cothとかいう sinh⁡x:=ex−e−x2\sinh x:=\frac{e^x-e^{-x}}{2}, cosh⁡x:=ex+e−x2\cosh x:=\frac{e^x+e^{-x}}{2} tanh⁡x:=sinh⁡xcosh⁡x\tanh x:=\frac{\sinh x}{\cosh x}として、$\tanh...

      1/3/2023

    Lec 4.

    • 微分可能な関数

      微分可能な関数

      from 関数がx=x0x=x_0においてであることの定義 「lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\lim{x \to x0}\frac{f(x)-f(x0)}{x-x0}がどんな小さいx−x0<δx - x_0<δでも成り立つ」 ...

      1/3/2023

    • 連続微分可能性

      連続微分可能性

      from n回微分した後の関数が連続であるとき、それをn回であるという 言葉は紛らわしいけど、連続で微分できるだけではん「n回連続微分可能」にはならない 連続で微分できるだけだとそれはただ「n回」なだけ ...

      1/3/2023

    • 中間値の定理

    • 平均値の定理

      • image
      • ∃c;f(b)−f(a)(b−a)=f′(c),a<c<b\exists c ; \frac{f(b) − f(a)}{(b − a)} = f’(c), a < c < b
        • aからbへの線の一次関数を考えたときに、それと一致するf′(c)f’(c)の値（cにおける傾き）を傾きとする一次関数がある、と言っている
        • これは分数にしないほうが便利takker.icon
          • f(b)=f′(c)(b−a)+f(a).for∃c∈(a,b)f(b)=f’(c)(b-a)+f(a)\quad\text{.for}\exist c\in (a,b)
          • そしてこの形にすることで……？

    • 単調増加とかの話は後で自習blu3mo.iconblu3mo.icon❓

    • 逆関数の導関数

      • 定理4: f(x)の逆関数g(y)があるとき、g′(y)=1f′(g(y))g’(y)=\frac{1}{f’(g(y))}と導関数が得られる
        • これはそれなりに非自明かつ便利だなblu3mo.icon
        • 条件: f(x)f(x)が開区間Iで単調増加かつ微分可能、かつf′(x)≠0f’(x)≠0
          • なぜこの条件が必要なのか理解したい❓
          • /icons/応援.icontakker.icon

    • 原始関数

      • 自習するblu3mo.icon❓

    • 感想

      • 最近、結構自明な定理を色々習っているが、これらをどこまで理解すべき?blu3mo.icon
        • 定理の条件を知っていれば良いのか、証明を一度理解すれば良いのか、いつでも証明を思い出せるべきなのか、0から証明できる能力を持つべきなのか
        • takker.icon - 定理の条件を知っていれば良いのか - 試験直前に詰め込む系のことをするなら必要 - それ以外は正直必要ない - 定理の条件があやふやになってしまっても、その場で証明書いたり、文字定数の具体化をしてあっているか確かめればいいだけ - もちろん試験中に全ての定理に対してこれをやると時間がなくなるので、事前の問題演習で、忘れるたびにその場で証明書くのを繰り返す感じだろうか - 忘れるたびに何度も書けば、結果的に覚えることになる - まあまずはここまでほしい - 証明を一度理解すれば良いのか - これがあると暗記に頼ることがなくなる - いつでも証明を思い出せるべきなのか - 簡単な例だと三角関数の諸定理がそう - (sin⁡θ)2=?(\sin\theta)^2=?と忘れてしまっても、どう展開するのかさえ知っていれば、その場で復元できる - さらに証明に使った手法を応用していろんな問題を解くことがよくある - 0から証明できる能力を持つべきなのか - 「0から」の意味がちょっと不明瞭かなtakker.icon - 「証明の方針を忘れてしまっても証明できる」というのなら、それはすでに証明に対する理解を失っている - より正確に書くと、証明を知る過程で、これらの証明を自分で0から見つけ出せる普遍的数学スキル(?)を身につけるべきなのかという意図だったblu3mo.icon - でもそれは流石に求められていない気がするblu3mo.icon - あっそれは天才か狂人か神にしかできないので大丈夫ですtakker.icon - ただ、証明をいじったり別ルートからのアプローチを考えたりするのは(余裕があれば)取り組むとよさそう - これである程度は0から手法を見つけ出せる

    Lec 3.

    Lec 2.

    Lec 1.

    • 述語論理
    • 述語論理とは

      • 変数についての主張

        • どの値についても成立するとか、ある値について成立するとか
        • ＼forallと＼exists

          ＼forallと＼exists

          from ∀x∈R\forall x \in ℝ: 「全ての実数xに対して」「任意の実数xを選ぶと常に」 「選ぶ」と考えた方がわかりやすい時があるのは数学ガールので思った AllのAをひっくり返して∀\forall なるほど（なるほどか？） ∃y∈R,P(y)\exists y \in ℝ, P(y)：「条件Pを満たす実数yが存在する」 existsのEをひっくり返して∃\exists どうみてもヨ $\exists y \in...

          1/3/2023

          とかをつける
        • タイプ:
          • forallがついた主張が全称命題
            • ∀x;Q(x)\forall x ; Q(x)
          • existsがついた主張が存在命題
            • ∃x;Q(x)\exists x ; Q(x)
          • 名前は分かりやすいなblu3mo.icon

      • 命題の否定

        • ∀xQ(x)\forall x Q(x)の否定は、∃x¬Q(x)\exists x \lnot Q(x)
          • この否定は、要は反例があるよと言っている
        • ∃xQ(x)\exists x Q(x)の否定は、∀x¬Q(x)\forall x \lnot Q(x)
        • ドモルガンの法則っぽさを感じたのはなぜだろうblu3mo.icon
          • 原理は同じですtakker.icon
            • 数学的帰納法

              数学的帰納法

              という名前だが、その実体は法の一つである 式で書けば考えることがシンプルになる（あくまで個人の意見です） 論理式で表すと以下のようになる {P(1)∀n∈N;P(n)  ⟹  P(n+1)\begin{dcases}P(1)\\\forall n\in\Bbb{N};P(n)\implies P(n+1)\end{dcases} 第二式でnnがになっているのがポイント ...

              1/3/2023

            • なるほどblu3mo.iconblu3mo.icon

      • 具体例

        • 部分集合は、ちゃんと定義するならx∈X  ⟹  y∈Yx \in X \implies y \in Y
          • あ〜、たしかにblu3mo.iconblu3mo.icon
          • 集合の言語が論理式に変換されているblu3mo.iconblu3mo.icon

      • ならばを論理式にするやつ

        • 数学ガールで見た時は理解できなかったけど、今改めて見たら腑に落ちた
        • P  ⟹  QP \implies Qが、¬P∨Q\lnot P \lor Qというやつ
          • Qが真の時 or Pが偽の時に「PならばQ」は真、わかる
        • これで例えば単射を定義すると、
          • ならば なら ∀x1∀x2;;x1≠x2  ⟹  f(x1)≠f(x2)\forall x_1 \forall x_2 ;; x_1 \ne x_2 \implies f(x_1) \ne f(x_2)
          • 論理式 なら∀x1∀x2;;x1=x2∨f(x1)≠f(x2)\forall x_1 \forall x_2 ;; x_1 = x_2 \lor f(x_1) \ne f(x_2)
            • ならばだとx1≠x2だったのがx1=x2になっているのが大事blu3mo.iconblu3mo.icon
            • なるほど〜、これは慣れるのに時間かかりそう
          • 「ならば」は論理記号とは別のものとして扱っている？takker.icon
            • 論理学だとならば  ⟹  \impliesは∧\landや∨\lorと同じく論理記号のひとつなので、この対比に違和感があった
            • あー、確かにblu3mo.icon
              • and,or,notだけで表現することを指して論理記号って言ってました
        • ＼forallと＼exists

          ＼forallと＼exists

          from ∀x∈R\forall x \in ℝ: 「全ての実数xに対して」「任意の実数xを選ぶと常に」 「選ぶ」と考えた方がわかりやすい時があるのは数学ガールので思った AllのAをひっくり返して∀\forall なるほど（なるほどか？） ∃y∈R,P(y)\exists y \in ℝ, P(y)：「条件Pを満たす実数yが存在する」 existsのEをひっくり返して∃\exists どうみてもヨ $\exists y \in...

          1/3/2023

          は羅列するだけでチェーンできるんだなblu3mo.icon
          • ∀a,b\forall a, bと∀a∀b\forall a \forall bは同じ意味
            • いちいち∀\forall書くのめんどいですからねtakker.icon
            • 東大1S1数理科学基礎：微分積分

              東大1S1数理科学基礎：微分積分

              のもう片方（with ） を同じく見ていくっぽい 試験のみでの評価らしい、出席は特に取らないらしい 試験 イプシロンデルタの話とかはほとんどでない メインが計算問題 続き: Chapter 11. の定義は知っている通り ∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x}を、fxf_xと書くこともあるらしい ...

              1/3/2023

              はむしろ逆で、∀a,b\forall a, bに期待する意味が∀a∀b\forall a \forall bと羅列する事で問題なく表せるのかという気づきでしたblu3mo.icon
            • あ～そっちかーtakker.icon
              • それも大事ですね
              • 自明ですが∀a,b;P(a,b)  ⟺  ∀a∀b;P(a,b)\forall a,b; P(a,b)\iff \forall a\forall b;P(a,b)を手計算で証明してみるとよさそう
              • 数学は疑問に思ったことを自力で試せて理解できるのが最高takker.icontakker.icon
                • この辺すぐ実行して結果を見れるprogrammingと共通している
          • forallとexistsが混ざる場合はチェーンできない？
            • ∀a,b∈Z∃!q,r≥0;a=qb+r∧0≤r<b\forall a,b\in\Z\exists! q,r\ge0;a=qb+r\land0\le r<bみたいなことはできますtakker.icon
            • 順番を逆にすることはできないblu3mo.icon
            • そこは実際に試してみるとよさそうtakker.icon
              • ∀a∃b;P(a,b)  ⟺  ∃a∀;bP(a,b)\forall a\exists b; P(a,b)\iff\exists a\forall; b P(a,b)は成立するか？とか
            • ∀\forallもしくは∃\existsのどちらかが連鎖している場合は順序を変えても問題ないが、∀\forallと∃\existsの並び替えはできない、という感じかblu3mo.icon
              • ∀a∀b∃c∃d\forall a \forall b \exists c \exists dを∀b∀a∃d∃c\forall b \forall a \exists d \exists cには出来る
              • が、∀a∀b∃c∃d\forall a \forall b \exists c \exists dを∀a∃c∀b∃d\forall a \exists c \forall b \exists dはできない
            • 更に発展させると、∀a∃b;P(a,b)  ⟸  ∃a∀;bP(a,b)\forall a\exists b; P(a,b)\impliedby\exists a\forall; b P(a,b)なら成り立つのか？みたいな疑問・問題も作れるtakker.icon
              • こんな風にいろんなvariationを作って深掘りできるそして時間を溶かす

      • 上界・下界

        • bが集合Aの上界とは、
        • ∀x∈A;x≦b\forall x \in A ; x ≦ b、日本語なら 全てのAの要素よりbの方が大きい
          • 定義で<ではなく≦なのが大事blu3mo.icon

      • 最大元、最小元: 集合の中のmin/max

        • 要は[].max(), [].min()
        • [0,1)[0, 1)には最大元は存在しない
          • なぜなら1はこの集合の元ではないので
          • lim⁡x→1x\lim_{x\to1}xが最大元とは言えないの？と思ったblu3mo.icon
            • あー、でも極限をイプシロンデルタ論法で定義した感じだと、limは特定の値を返す関数ではないのか
              • 値とは別の「極限」という概念
              • なので最大元とは言えない、という感じかな
            • 極限は関係ありませんtakker.icon
              • 単に最大元の定義にあわないだけです
              • aはAの最大元:  ⟺  a∈A∧∀x∈A;x≤aa\text{は}A\text{の最大元}:\iff a\in A\land\forall x\in A;x\le a
              • っと東大1S1数理科学基礎：微分積分

                東大1S1数理科学基礎：微分積分

                のもう片方（with ） を同じく見ていくっぽい 試験のみでの評価らしい、出席は特に取らないらしい 試験 イプシロンデルタの話とかはほとんどでない メインが計算問題 続き: Chapter 11. の定義は知っている通り ∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x}を、fxf_xと書くこともあるらしい ...

                1/3/2023

                にもう書いてあった。余計なコメントでした

      • 上限と下限

        • 最大元とは違う定義
          • 上界の要素の集合の中の最小元
          • ここで、1は[0,1][0, 1]の上界なのが大事
            • 上界bは 任意の要素aに対してa≦bと定義されている、a<bではないのが大事
        • [0,1)[0, 1)の最大元は1ではないが、上限は1
          • というかこういう時のために定義した上限
        • 集合Aの上限はsup⁡A\sup A、下限はinf⁡A\inf A

      • この辺りは資料見た方がちゃんと定義書いてあるのでわかりやすいな

        • まあ要は、[0, 1)みたいな集合で一番上が1じゃんと言うための道具
          • 1自体は集合に含まれていないので、最大元が1とは言えない

      • 実数は連続性を持つ

        • これを正確に表現する方法として、

        • 実数集合の部分集合は、上に有界ならば上限を持つ

        • 連続性を持たなかったらなら、上に有界な部分集合がある時に、部分集合の上界に最小元が存在しない、と
          • それなら上に有界ではないのでは
          • いや、違うかblu3mo.icon
            • これだと対偶がちゃんと取れていない
        • でも、「上に有界な部分集合がある時に、部分集合の上界に最小元が存在する」のはやっぱり当然では
          • 違うか、上界に元があっても最小元が存在するとは限らないのか
            • Ex: (0, ∞]に元はあっても最小元はない
            • エッジケースだと∅\varnothingがそうtakker.icon
              • 確かにblu3mo.icon
          • これが成り立つことが実数であることそのものなので、任意の半順序集合では成立しませんtakker.icon
            • [0,2]∩Q[0,\sqrt2]\cap\Bbb{Q}の上界はx∈Q∣∀y∈[0,2]∩Q;y≤x{x\in\Bbb{Q}|\forall y\in [0,\sqrt2]\cap\Bbb{Q};y\le x}(=[2,∞)∩Q=[\sqrt2,\infin)\cap\Bbb{Q})だが、[2,∞)∩Q[\sqrt2,\infin)\cap\Bbb{Q}に最小元は存在しない

      • 局所的な最大/最小

        • 二階微分で定義されるイメージだったけど、∣x−x0∣<δならばf(x)≤f(x0)となる|x − x_0 | < δ ならば f(x) ≤ f(x_0) となるの方が確かに良い定義だな
        • 平べったい部分は局所的に最大かつ最小になる（≤で定義されてるので）

      • 極大/極小

        • image
        • 理解blu3mo.icon
        • 局所的に最大の定義を少しいじれば極大になるのねblu3mo.icon

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