東大1S1数理科学基礎：微分積分

Last updated Unknown Edit Source

• 数理科学基礎のもう片方（with 東大1S1数理科学基礎：線形代数）

  • 数理科学基礎共通資料を同じく見ていくっぽい

• 試験のみでの評価らしい、出席は特に取らないらしい

• 試験

  • イプシロンデルタの話とかはほとんどでない
  • メインが計算問題

• 続き: 東大1S2微分積分

Chapter 11. 偏微分係数と接平面

• 偏微分の定義は知っている通り
• $\frac{\partial f}{\partial x}$を、$f_x$と書くこともあるらしい
  • え、ダッシュとかつけないんだ
  • 紛らわしいですよね
• 二階偏微分は、四パターンある
  • $f_{xx},f_{xy},f_{yx},f_{yy}$
  • まあそうね、という気持ち
• 勾配ベクトルは、$(f_x(x,y), f_y(x,y))^T$という感じ
  • これは、つまり接平面で一番急勾配な方向を表す
    • まあそうね、これを使うのが勾配降下法なわけで
• 停留点
  • $f_x=f_y=0$の点
  • つまり全微分しても0 Chapter 10. 二変数関数のグラフ
• 二変数関数
  • f(x,y)みたいなやつ
  • $ℝ^2\to ℝ$の写像とも言える
• こういう関数ならこう言う3Dグラフ形状、というパターンが色々
  • $f(x,y)=ax+by+c$は平面
    • これは、平面をベクトルで定義したやつ（高校）でいける
    • 
  • $f(x,y)=g(\sqrt{x^2+y^2})$は回転面
    • 回転面は壺みたいなイメージ、何かのグラフを回転して作れる立体
    • gには原点から(x,y)への距離が突っ込まれている
    • からので、原点から同じ距離の座標なら同じ出力
  • $f(x,y)=g(x)$は、柱面
    • これはまあ想像しやすいな
  • 回転放物面/双曲放物面
    • $f(x)=x^2+y^2$: 回転放物面
    • $f(x)=x^2-y^2$: 双曲放物面
    • 
    • まあそりゃそうって感じの形状
    • TODO: これは三角関数と双曲線関数に対応していそうだけど、何がどう対応している?
      • ヒント書こうと思ったけど、もろ答えになるからやめておく
• $f(x,y)=px^2+qxy+ry^2$を考える
  • これを平方完成すると、$k(x+y)^2+ly^2$みたいな形になる
    • ここで、$X=x+y, Y=y$の新しい座標系を考えれば、$kX^2+lY^2$という形式でまとめられる
      • なるほど〜
      • 線形代数を学ぶともっと複雑な式も↑の形式にまとめられると言っていた
    • ここで、$k$と$l$が両方とも正なら回転放物面、片方が負なら双曲放物面になる (Bluemo微分積分ノート)
      • 座標系を変えてるので歪んだ形ではあるけど
• グラフの形状把握の方法（微分を使わない時）
  • x,y軸に垂直な平面でグラフの断面を切り取る
    • $x = x_0 + t \cos θ_0, y = y_0 + t\sin θ_0, z = f(x_0 + t \cos θ_0, y_0 + t\sin θ_0)$の曲線が断面として得られる
  • 等高線を描く
    • zが定数の時のxとyの関係を得れば良い
  • グラフの正負を得て描く
    • ここは平方完成や因数分解でいける

Chapter 6.

• 微分方程式

Chapter 5.

• 高校までの範囲
  • 対数関数 <-> 指数関数
    • （厳密には関数が全単射になるように定義しないと逆関数にはならない）
      • 連続関数の時は、定義域の範囲で狭義の単調関数であれば全単射
        • 単調にもいろいろあるんだな
          • $\forall x\in A\forall a<x;f(a)<f(x)$くらいしか知らない(これは狭義単調増加の場合)
          • その不等号が等号を含むと問題が起きる
            • 
              • 右だとf(a)とf(b)がイコールだから逆写像を作る時にaにしたらいいのかbにしたらいいのかわからなくなる
            • 広義と狭義 | 単調写像 - Wikipediaこれか
            • なんだ。等号の有無だけだった
              • もちろん大事な違い
              • なるほど
            • 単調非減少と単調増加、とテキストでは言い分けられていた
              • この言い方の方が好き
                • 「狭義」って相対的な表現だし、名前だけ見ても意味がわからない
            • てっきり一様連続みたくいろんな種類があるのかと思った
    • 実数の場合は定義域が決まっているから大丈夫
      • $\exp:\R\to\R_+$
      • $\ln:\R_+\to\R$
        • 補足：$\R_+:={x\in\R|x>0}$
      • これなら定義域の範囲で狭義単調関数、という事か
      • 複素数に拡張するとアウト
        • これは[/blu3mo/複素数のEuler Formの一般化]( https://scrapbox.io/blu3mo/複素数のEuler Formの一般化)で悩んだポイント
        • なつかしい
  • 三角関数 <-> 逆三角関数(arcsinとか)
    • こっちも同様の理由で定義域を制限する
    • なのでarcsinとかは定義域限られる、という話
      • これはIBで既習
      • 
    • 微分の計算も、公式は導出できる
      • y=arcsinxの時にsiny=xなので、dx/dyを求めてからひっくり返していじくり回す
• 双曲線関数

Lec 4.

• 微分可能な関数

• 連続微分可能性

• 中間値の定理

• 平均値の定理

  • 
  • $\exists c ; \frac{f(b) − f(a)}{(b − a)} = f’(c), a < c < b$
    • aからbへの線の一次関数を考えたときに、それと一致する$f’(c)$の値（cにおける傾き）を傾きとする一次関数がある、と言っている
    • これは分数にしないほうが便利
      • $f(b)=f’(c)(b-a)+f(a)\quad\text{.for}\exist c\in (a,b)$
      • そしてこの形にすることで……？

• 単調増加とかの話は後で自習❓

• 逆関数の導関数

  • 定理4: f(x)の逆関数g(y)があるとき、$g’(y)=\frac{1}{f’(g(y))}$と導関数が得られる
    • これはそれなりに非自明かつ便利だな
    • 条件: $f(x)$が開区間Iで単調増加かつ微分可能、かつ$f’(x)≠0$
      • なぜこの条件が必要なのか理解したい❓
      • 

• 原始関数

  • 自習する❓

• 感想

  • 最近、結構自明な定理を色々習っているが、これらをどこまで理解すべき?
    • 定理の条件を知っていれば良いのか、証明を一度理解すれば良いのか、いつでも証明を思い出せるべきなのか、0から証明できる能力を持つべきなのか
    • - 定理の条件を知っていれば良いのか - 試験直前に詰め込む系のことをするなら必要 - それ以外は正直必要ない - 定理の条件があやふやになってしまっても、その場で証明書いたり、文字定数の具体化をしてあっているか確かめればいいだけ - もちろん試験中に全ての定理に対してこれをやると時間がなくなるので、事前の問題演習で、忘れるたびにその場で証明書くのを繰り返す感じだろうか - 忘れるたびに何度も書けば、結果的に覚えることになる - まあまずはここまでほしい - 証明を一度理解すれば良いのか - これがあると暗記に頼ることがなくなる - いつでも証明を思い出せるべきなのか - 簡単な例だと三角関数の諸定理がそう - $(\sin\theta)^2=?$と忘れてしまっても、どう展開するのかさえ知っていれば、その場で復元できる - さらに証明に使った手法を応用していろんな問題を解くことがよくある - 0から証明できる能力を持つべきなのか - 「0から」の意味がちょっと不明瞭かな - 「証明の方針を忘れてしまっても証明できる」というのなら、それはすでに証明に対する理解を失っている - より正確に書くと、証明を知る過程で、これらの証明を自分で0から見つけ出せる普遍的数学スキル(?)を身につけるべきなのかという意図だった - でもそれは流石に求められていない気がする - あっそれは天才か狂人か神にしかできないので大丈夫です - ただ、証明をいじったり別ルートからのアプローチを考えたりするのは(余裕があれば)取り組むとよさそう - これである程度は0から手法を見つけ出せる

Lec 3.

• イプシロンデルタ論法の続き

Lec 2.

• イプシロンデルタ論法

Lec 1.

• 述語論理
• 述語論理とは

  • 変数についての主張

    • どの値についても成立するとか、ある値について成立するとか
    • ＼forallと＼existsとかをつける
    • タイプ:
      • forallがついた主張が全称命題
        • $\forall x ; Q(x)$
      • existsがついた主張が存在命題
        • $\exists x ; Q(x)$
      • 名前は分かりやすいな

  • 命題の否定

    • $\forall x Q(x)$の否定は、$\exists x \lnot Q(x)$
      • この否定は、要は反例があるよと言っている
    • $\exists x Q(x)$の否定は、$\forall x \lnot Q(x)$
    • ドモルガンの法則っぽさを感じたのはなぜだろう
      • 原理は同じです
        • 数学的帰納法
        • なるほど

  • 具体例

    • 部分集合は、ちゃんと定義するなら$x \in X \implies y \in Y$
      • あ〜、たしかに
      • 集合の言語が論理式に変換されている

  • ならばを論理式にするやつ

    • 数学ガールで見た時は理解できなかったけど、今改めて見たら腑に落ちた
    • $P \implies Q$が、$\lnot P \lor Q$というやつ
      • Qが真の時 or Pが偽の時に「PならばQ」は真、わかる
    • これで例えば単射を定義すると、
      • ならば なら $\forall x_1 \forall x_2 ;; x_1 \ne x_2 \implies f(x_1) \ne f(x_2)$
      • 論理式 なら$\forall x_1 \forall x_2 ;; x_1 = x_2 \lor f(x_1) \ne f(x_2)$
        • ならばだとx1≠x2だったのがx1=x2になっているのが大事
        • なるほど〜、これは慣れるのに時間かかりそう
      • 「ならば」は論理記号とは別のものとして扱っている？
        • 論理学だとならば$\implies$は$\land$や$\lor$と同じく論理記号のひとつなので、この対比に違和感があった
        • あー、確かに
          • and,or,notだけで表現することを指して論理記号って言ってました
    • ＼forallと＼existsは羅列するだけでチェーンできるんだな
      • $\forall a, b$と$\forall a \forall b$は同じ意味
        • いちいち$\forall$書くのめんどいですからね
        • 東大1S1数理科学基礎：微分積分はむしろ逆で、$\forall a, b$に期待する意味が$\forall a \forall b$と羅列する事で問題なく表せるのかという気づきでした
        • あ～そっちかー
          • それも大事ですね
          • 自明ですが$\forall a,b; P(a,b)\iff \forall a\forall b;P(a,b)$を手計算で証明してみるとよさそう
          • 数学は疑問に思ったことを自力で試せて理解できるのが最高
            • この辺すぐ実行して結果を見れるprogrammingと共通している
      • forallとexistsが混ざる場合はチェーンできない？
        • $\forall a,b\in\Z\exists! q,r\ge0;a=qb+r\land0\le r<b$みたいなことはできます
        • 順番を逆にすることはできない
        • そこは実際に試してみるとよさそう
          • $\forall a\exists b; P(a,b)\iff\exists a\forall; b P(a,b)$は成立するか？とか
        • $\forall$もしくは$\exists$のどちらかが連鎖している場合は順序を変えても問題ないが、$\forall$と$\exists$の並び替えはできない、という感じか
          • $\forall a \forall b \exists c \exists d$を$\forall b \forall a \exists d \exists c$には出来る
          • が、$\forall a \forall b \exists c \exists d$を$\forall a \exists c \forall b \exists d$はできない
        • 更に発展させると、$\forall a\exists b; P(a,b)\impliedby\exists a\forall; b P(a,b)$なら成り立つのか？みたいな疑問・問題も作れる
          • こんな風にいろんなvariationを作って深掘りできるそして時間を溶かす

  • 上界・下界

    • bが集合Aの上界とは、
    • $\forall x \in A ; x ≦ b$、日本語なら 全てのAの要素よりbの方が大きい
      • 定義で<ではなく≦なのが大事

  • 最大元、最小元: 集合の中のmin/max

    • 要は[].max(), [].min()
    • $[0, 1)$には最大元は存在しない
      • なぜなら1はこの集合の元ではないので
      • $\lim_{x\to1}x$が最大元とは言えないの？と思った
        • あー、でも極限をイプシロンデルタ論法で定義した感じだと、limは特定の値を返す関数ではないのか
          • 値とは別の「極限」という概念
          • なので最大元とは言えない、という感じかな
        • 極限は関係ありません
          • 単に最大元の定義にあわないだけです
          • $a\text{は}A\text{の最大元}:\iff a\in A\land\forall x\in A;x\le a$
          • っと東大1S1数理科学基礎：微分積分にもう書いてあった。余計なコメントでした

  • 上限と下限

    • 最大元とは違う定義
      • 上界の要素の集合の中の最小元
      • ここで、1は$[0, 1]$の上界なのが大事
        • 上界bは 任意の要素aに対してa≦bと定義されている、a<bではないのが大事
    • $[0, 1)$の最大元は1ではないが、上限は1
      • というかこういう時のために定義した上限
    • 集合Aの上限は$\sup A$、下限は$\inf A$

  • この辺りは資料見た方がちゃんと定義書いてあるのでわかりやすいな

    • まあ要は、[0, 1)みたいな集合で一番上が1じゃんと言うための道具
      • 1自体は集合に含まれていないので、最大元が1とは言えない

  • 実数は連続性を持つ

    • これを正確に表現する方法として、

    • 実数集合の部分集合は、上に有界ならば上限を持つ

    • 連続性を持たなかったらなら、上に有界な部分集合がある時に、部分集合の上界に最小元が存在しない、と
      • それなら上に有界ではないのでは
      • いや、違うか
        • これだと対偶がちゃんと取れていない
    • でも、「上に有界な部分集合がある時に、部分集合の上界に最小元が存在する」のはやっぱり当然では
      • 違うか、上界に元があっても最小元が存在するとは限らないのか
        • Ex: (0, ∞]に元はあっても最小元はない
        • エッジケースだと$\varnothing$がそう
          • 確かに
      • これが成り立つことが実数であることそのものなので、任意の半順序集合では成立しません
        • $[0,\sqrt2]\cap\Bbb{Q}$の上界は${x\in\Bbb{Q}|\forall y\in [0,\sqrt2]\cap\Bbb{Q};y\le x}$($=[\sqrt2,\infin)\cap\Bbb{Q}$)だが、$[\sqrt2,\infin)\cap\Bbb{Q}$に最小元は存在しない

  • 局所的な最大/最小

    • 二階微分で定義されるイメージだったけど、$|x − x_0 | < δ ならば f(x) ≤ f(x_0) となる$の方が確かに良い定義だな
    • 平べったい部分は局所的に最大かつ最小になる（≤で定義されてるので）

  • 極大/極小

    • 
    • 理解
    • 局所的に最大の定義を少しいじれば極大になるのね