東大1S1数理科学基礎:微分積分
数理科学基礎のもう片方(with 東大1S1数理科学基礎:線形代数)
試験のみでの評価らしい、出席は特に取らないらしい
試験
- イプシロンデルタの話とかはほとんどでない
- メインが計算問題
続き: 東大1S2微分積分
Chapter 11. 偏微分係数と接平面
- 偏微分の定義は知っている通り
- を、と書くこともあるらしい
- え、ダッシュとかつけないんだ
- 紛らわしいですよね
- え、ダッシュとかつけないんだ
- 二階偏微分は、四パターンある
- まあそうね、という気持ち
- 勾配ベクトルは、という感じ
- これは、つまり接平面で一番急勾配な方向を表す
- まあそうね、これを使うのが勾配降下法なわけで
- まあそうね、これを使うのが勾配降下法なわけで
- これは、つまり接平面で一番急勾配な方向を表す
- 停留点
- の点
- つまり全微分しても0 Chapter 10. 二変数関数のグラフ
- 二変数関数
- f(x,y)みたいなやつ
- の写像とも言える
- こういう関数ならこう言う3Dグラフ形状、というパターンが色々
- を考える
- これを平方完成すると、みたいな形になる
- ここで、の新しい座標系を考えれば、という形式でまとめられる
- なるほど〜
- 線形代数を学ぶともっと複雑な式も↑の形式にまとめられると言っていた
- なるほど〜
- ここで、とが両方とも正なら回転放物面、片方が負なら双曲放物面になる (Bluemo微分積分ノート)
- 座標系を変えてるので歪んだ形ではあるけど
- ここで、の新しい座標系を考えれば、という形式でまとめられる
- これを平方完成すると、みたいな形になる
- グラフの形状把握の方法(微分を使わない時)
Chapter 6.
Chapter 5.
- 高校までの範囲
- 対数関数 <-> 指数関数
- (厳密には関数が全単射になるように定義しないと逆関数にはならない)
- 連続関数の時は、定義域の範囲で狭義の単調関数であれば全単射
- 単調にもいろいろあるんだな
- くらいしか知らない(これは狭義単調増加の場合)
- その不等号が等号を含むと問題が起きる
- 右だとf(a)とf(b)がイコールだから逆写像を作る時にaにしたらいいのかbにしたらいいのかわからなくなる
- 広義と狭義 | 単調写像 - Wikipediaこれか
- なんだ。等号の有無だけだった
- もちろん大事な違い
- なるほど
- 単調非減少と単調増加、とテキストでは言い分けられていた
- この言い方の方が好き
- 「狭義」って相対的な表現だし、名前だけ見ても意味がわからない
- この言い方の方が好き
- てっきり一様連続みたくいろんな種類があるのかと思った
- 単調にもいろいろあるんだな
- 連続関数の時は、定義域の範囲で狭義の単調関数であれば全単射
- 実数の場合は定義域が決まっているから大丈夫
- 補足:
- これなら定義域の範囲で狭義単調関数、という事か
- 複素数に拡張するとアウト
- これは[/blu3mo/複素数のEuler Formの一般化](
https://scrapbox.io/blu3mo/複素数のEuler Formの一般化)で悩んだポイント
- なつかしい
- これは[/blu3mo/複素数のEuler Formの一般化](
https://scrapbox.io/blu3mo/複素数のEuler Formの一般化)で悩んだポイント
- (厳密には関数が全単射になるように定義しないと逆関数にはならない)
- 三角関数 <-> 逆三角関数(arcsinとか)
- こっちも同様の理由で定義域を制限する
- なのでarcsinとかは定義域限られる、という話
- これはIBで既習
- これはIBで既習
- 微分の計算も、公式は導出できる
- y=arcsinxの時にsiny=xなので、dx/dyを求めてからひっくり返していじくり回す
- 対数関数 <-> 指数関数
- 双曲線関数
Lec 4.
中間値の定理
- aからbへの線の一次関数を考えたときに、それと一致するの値(cにおける傾き)を傾きとする一次関数がある、と言っている
- これは分数にしないほうが便利
- そしてこの形にすることで……?
単調増加とかの話は後で自習
❓
- 定理4: f(x)の逆関数g(y)があるとき、と導関数が得られる
- これはそれなりに非自明かつ便利だな
- 条件: が開区間Iで単調増加かつ微分可能、かつ
- なぜこの条件が必要なのか理解したい❓
- これはそれなりに非自明かつ便利だな
- 定理4: f(x)の逆関数g(y)があるとき、と導関数が得られる
- 自習する
❓
- 自習する
感想
- 最近、結構自明な定理を色々習っているが、これらをどこまで理解すべき?
- 定理の条件を知っていれば良いのか、証明を一度理解すれば良いのか、いつでも証明を思い出せるべきなのか、0から証明できる能力を持つべきなのか
- 定理の条件を知っていれば良いのか - 試験直前に詰め込む系のことをするなら必要 - それ以外は正直必要ない - 定理の条件があやふやになってしまっても、その場で証明書いたり、文字定数の具体化をしてあっているか確かめればいいだけ - もちろん試験中に全ての定理に対してこれをやると時間がなくなるので、事前の問題演習で、忘れるたびにその場で証明書くのを繰り返す感じだろうか - 忘れるたびに何度も書けば、結果的に覚えることになる - まあまずはここまでほしい - 証明を一度理解すれば良いのか - これがあると暗記に頼ることがなくなる - いつでも証明を思い出せるべきなのか - 簡単な例だと三角関数の諸定理がそう - と忘れてしまっても、どう展開するのかさえ知っていれば、その場で復元できる - さらに証明に使った手法を応用していろんな問題を解くことがよくある - 0から証明できる能力を持つべきなのか - 「0から」の意味がちょっと不明瞭かな
- 「証明の方針を忘れてしまっても証明できる」というのなら、それはすでに証明に対する理解を失っている - より正確に書くと、証明を知る過程で、これらの証明を自分で0から見つけ出せる普遍的数学スキル(?)を身につけるべきなのかという意図だった
- でもそれは流石に求められていない気がする
- あっそれは天才か狂人か神にしかできないので大丈夫です
- ただ、証明をいじったり別ルートからのアプローチを考えたりするのは(余裕があれば)取り組むとよさそう - これである程度は0から手法を見つけ出せる
- 最近、結構自明な定理を色々習っているが、これらをどこまで理解すべき?
Lec 3.
- イプシロンデルタ論法の続き
Lec 2.
Lec 1.
- 述語論理
- 述語論理とは
変数についての主張
- どの値についても成立するとか、ある値について成立するとか
- \forallと\existsとかをつける
- タイプ:
命題の否定
具体例
- 数学ガールで見た時は理解できなかったけど、今改めて見たら腑に落ちた
- が、というやつ
- Qが真の時 or Pが偽の時に「PならばQ」は真、わかる
- これで例えば単射を定義すると、
- ならば なら
- 論理式 なら
- ならばだとx1≠x2だったのがx1=x2になっているのが大事
- なるほど〜、これは慣れるのに時間かかりそう
- ならばだとx1≠x2だったのがx1=x2になっているのが大事
- 「ならば」は論理記号とは別のものとして扱っている?
- 論理学だとならばはやと同じく論理記号のひとつなので、この対比に違和感があった
- あー、確かに
- and,or,notだけで表現することを指して論理記号って言ってました
- \forallと\existsは羅列するだけでチェーンできるんだな
- とは同じ意味
- いちいち書くのめんどいですからね
- 東大1S1数理科学基礎:微分積分はむしろ逆で、に期待する意味がと羅列する事で問題なく表せるのかという気づきでした
- あ~そっちかー
- それも大事ですね
- 自明ですがを手計算で証明してみるとよさそう
- 数学は疑問に思ったことを自力で試せて理解できるのが最高
- この辺すぐ実行して結果を見れるprogrammingと共通している
- いちいち書くのめんどいですからね
- forallとexistsが混ざる場合はチェーンできない?
- みたいなことはできます
- 順番を逆にすることはできない
- そこは実際に試してみるとよさそう
- は成立するか?とか
- もしくはのどちらかが連鎖している場合は順序を変えても問題ないが、との並び替えはできない、という感じか
- をには出来る
- が、をはできない
- 更に発展させると、なら成り立つのか?みたいな疑問・問題も作れる
- こんな風にいろんなvariationを作って深掘りできるそして時間を溶かす
- みたいなことはできます
- とは同じ意味
- bが集合Aの上界とは、
- 、日本語なら 全てのAの要素よりbの方が大きい
- 定義で<ではなく≦なのが大事
- 定義で<ではなく≦なのが大事
- 要は[].max(), [].min()
- には最大元は存在しない
- なぜなら1はこの集合の元ではないので
- が最大元とは言えないの?と思った
- あー、でも極限をイプシロンデルタ論法で定義した感じだと、limは特定の値を返す関数ではないのか
- 値とは別の「極限」という概念
- なので最大元とは言えない、という感じかな
- 極限は関係ありません
- 単に最大元の定義にあわないだけです
- っと東大1S1数理科学基礎:微分積分にもう書いてあった。余計なコメントでした
- あー、でも極限をイプシロンデルタ論法で定義した感じだと、limは特定の値を返す関数ではないのか
- 最大元とは違う定義
- 上界の要素の集合の中の最小元
- ここで、1はの上界なのが大事
- 上界bは 任意の要素aに対してa≦bと定義されている、a<bではないのが大事
- の最大元は1ではないが、上限は1
- というかこういう時のために定義した上限
- 集合Aの上限は、下限は
- 最大元とは違う定義
この辺りは資料見た方がちゃんと定義書いてあるのでわかりやすいな
- まあ要は、[0, 1)みたいな集合で一番上が1じゃんと言うための道具
- 1自体は集合に含まれていないので、最大元が1とは言えない
- まあ要は、[0, 1)みたいな集合で一番上が1じゃんと言うための道具
実数は連続性を持つ
- これを正確に表現する方法として、
実数集合の部分集合は、上に有界ならば上限を持つ
- 連続性を持たなかったらなら、上に有界な部分集合がある時に、部分集合の上界に最小元が存在しない、と
- それなら上に有界ではないのでは
- いや、違うか
- これだと対偶がちゃんと取れていない
- でも、「上に有界な部分集合がある時に、部分集合の上界に最小元が存在する」のはやっぱり当然では
- 違うか、上界に元があっても最小元が存在するとは限らないのか
- Ex: (0, ∞]に元はあっても最小元はない
- エッジケースだとがそう
- 確かに
- 確かに
- これが成り立つことが実数であることそのものなので、任意の半順序集合では成立しません
- の上界は()だが、に最小元は存在しない
- 違うか、上界に元があっても最小元が存在するとは限らないのか
局所的な最大/最小
- 二階微分で定義されるイメージだったけど、の方が確かに良い定義だな
- 平べったい部分は局所的に最大かつ最小になる(≤で定義されてるので)
- 理解
- 局所的に最大の定義を少しいじれば極大になるのね