双曲線関数

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from 東大1S1数理科学基礎：微分積分

• sinh, cosh, tanh
  • 逆数関数もsech, csch, cothとかいう
• $\sinh x:=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$, $\cosh x:=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
  • $\tanh x:=\frac{\sinh x}{\cosh x}$として、$\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
  • なんか見覚えがある気がする
  • xのところにiを混ぜると円の三角関数になるとか？
    • オイラーの公式
    • そういうことです
      • $i$が回転を司っている
      • だから双曲線関数に$i$を入れると回転し、三角関数から$i$を抜くと回転しなくなる
    • なるほど
      • ただ、これは知らなかったので既視感の正体は違う気がする
      • ただの気のせい?
      • 数IIIの二次曲線でもしかした見覚えあるかも？
      • あとは分数関数の積分でも出てくるかもしれない
        • これな気がする
        • 指数表記された三角関数を微積分してみる？
  • $\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2}$系は面白い
• なんだこれ、なぜ三角関数っぽく書く?
  • 対称性/関係がまだ見えない
  • 性質がにている
    • $\cos^2x + \sin^2x=1$ / $\cosh^2x - \sinh^2x=1$
      • 逆やん
      • ピッタリ逆ってのはある意味すごく似てるのでは
      • 他の公式も全部符号が逆なら似ていると感じるが、そうでもなさそう
      • 逆なのは円関数(三角関数のこと)と双曲線関数の定義を比較するととても、それはそれはとてもとてもよくわかります
        • 性質より根本の定義を確認するとしっくりくる予感はしている
  • 形はそこまで似ていない?
    • 近似しているとかでは無いのね
  • 円の$x^2+y^2=1$の代わりに、双曲線$x^2-y^2=1$で定義している?
  • 面白いぞ～この辺りは
    • 発展する話題を投げておこう
    • $\mathrm{Re}(z):=\frac{z+z^}{2}$、$\mathrm{Im}(z):=\frac{z-z^}{2i}$の演算法則
    • $\frac{x+x^{-1}}{2}$、$\frac{x-x^{-1}}{2}$の演算法則
    • 三角関数のもろもろの性質の、どれが$e$の効果でどれが$i$の効果なのか、どれが$\frac{a\pm b}{2}$の効果なのかがよく分かる

• 三角関数と双曲線関数は複素数に広げるとつながる

  • 三角関数と双曲線関数の関係は，テイラー展開によって得られた巾級数を複素数の範囲で考察することによって，より明瞭に理解される。

  • 詳しくは後でと言われた
  • え〜〜
    • 周辺は以前調べたから自習できそう
  • 7 複素数によるつながり
    • なるほど!!!
      • オイラーの公式を用いた三角関数の表現

        オイラーの公式を用いた三角関数の表現

        http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic3/hyper1/node7.html $\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\;\;\; \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ 数式の変換は理解したが、変換後の式の意味を理解したい cos e^ix、x=1,...

        1/3/2023

        と同じ形になるのか
    • $\cosh z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}$ $\sinh z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}$
      • cosはixをzで置き換えてるのね
      • 三次元のcoshグラフを、虚数軸に並行/実数軸に垂直な面で切り取ればcos(x)グラフが得られる?
        • そうみたい
        • 
        • 全部のcosh(z)に対して実数が返ってくるわけでは無いのか
          • cosh(z)の値を全部描くなら四次元プロットが必要
    • 双曲線関数の気持ちは理解できた気がする
    • これを元に双曲線関数の法則を三角関数ベースで書けば分かりそう
      • 双曲線関数と三角関数の法則を両方expで書き出すともっと良い?