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双曲線関数

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    from 東大1S1数理科学基礎:微分積分

    東大1S1数理科学基礎:微分積分

    のもう片方(with を同じく見ていくっぽい 試験のみでの評価らしい、出席は特に取らないらしい 試験 イプシロンデルタの話とかはほとんどでない メインが計算問題 続き: Chapter 11. の定義は知っている通り fx\frac{\partial f}{\partial x}を、fxf_xと書くこともあるらしい ...

    1/3/2023

    双曲線関数

    双曲線関数

    from sinh, cosh, tanh 逆数関数もsech, csch, cothとかいう sinhx:=exex2\sinh x:=\frac{e^x-e^{-x}}{2}, coshx:=ex+ex2\cosh x:=\frac{e^x+e^{-x}}{2} tanhx:=sinhxcoshx\tanh x:=\frac{\sinh x}{\cosh x}として、$\tanh...

    1/3/2023

    • sinh, cosh, tanh
      • 逆数関数もsech, csch, cothとかいう
    • sinhx:=exex2\sinh x:=\frac{e^x-e^{-x}}{2}, coshx:=ex+ex2\cosh x:=\frac{e^x+e^{-x}}{2}
      • tanhx:=sinhxcoshx\tanh x:=\frac{\sinh x}{\cosh x}として、tanhx=exexex+ex\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
      • なんか見覚えがある気がするblu3mo.icon
      • xのところにiを混ぜると円の三角関数になるとか?nishio.icon
        • オイラーの公式
        • そういうことですtakker.icon
          • iiが回転を司っている
          • だから双曲線関数にiiを入れると回転し、三角関数からiiを抜くと回転しなくなる
        • なるほどblu3mo.icon
          • ただ、これは知らなかったので既視感の正体は違う気がする
          • ただの気のせい?
          • 数IIIの二次曲線でもしかした見覚えあるかも?takker.icon
          • あとは分数関数の積分でも出てくるかもしれない
            • これな気がするblu3mo.icon
            • 指数表記された三角関数を微積分してみる?nishio.icon
      • a+b2,ab2\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2}系は面白いtakker.icon
    • なんだこれ、なぜ三角関数っぽく書く?blu3mo.icon
      • 対称性/関係がまだ見えないblu3mo.icon
      • 性質がにている
        • cos2x+sin2x=1\cos^2x + \sin^2x=1 / cosh2xsinh2x=1\cosh^2x - \sinh^2x=1
          • 逆やん
          • ピッタリ逆ってのはある意味すごく似てるのではnishio.icon
          • 他の公式も全部符号が逆なら似ていると感じるが、そうでもなさそうblu3mo.icon
          • 逆なのは円関数(三角関数のこと)と双曲線関数の定義を比較するととても、それはそれはとてもとてもよくわかりますtakker.icon
            • 性質より根本の定義を確認するとしっくりくる予感はしているblu3mo.icon
      • 形はそこまで似ていない?
        • 近似しているとかでは無いのね
      • 円のx2+y2=1x^2+y^2=1の代わりに、双曲線x2y2=1x^2-y^2=1で定義している?
      • 面白いぞ~この辺りはtakker.icon
        • 発展する話題を投げておこう
        • $\mathrm{Re}(z):=\frac{z+z^}{2}\mathrm{Im}(z):=\frac{z-z^}{2i}$の演算法則
        • x+x12\frac{x+x^{-1}}{2}xx12\frac{x-x^{-1}}{2}の演算法則
        • 三角関数のもろもろの性質の、どれがeeの効果でどれがiiの効果なのか、どれがa±b2\frac{a\pm b}{2}の効果なのかがよく分かる
    • 三角関数と双曲線関数は複素数に広げるとつながる

      • 三角関数と双曲線関数の関係は,テイラー展開によって得られた巾級数を複素数の範囲で考察することによって,より明瞭に理解される。

      • 詳しくは後でと言われた
      • え〜〜blu3mo.icon
        • 周辺は以前調べたから自習できそう
      • 7 複素数によるつながり
        • なるほど!!!blu3mo.icon
        • coshz=ez+ez2\cosh z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2} sinhz=ezez2\sinh z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}
          • cosはixをzで置き換えてるのね
          • 三次元のcoshグラフを、虚数軸に並行/実数軸に垂直な面で切り取ればcos(x)グラフが得られる?
            • そうみたいblu3mo.icon
            • image
            • 全部のcosh(z)に対して実数が返ってくるわけでは無いのかblu3mo.icon
              • cosh(z)の値を全部描くなら四次元プロットが必要
        • 双曲線関数の気持ちは理解できた気がするblu3mo.iconblu3mo.iconblu3mo.icon
        • これを元に双曲線関数の法則を三角関数ベースで書けば分かりそう
          • 双曲線関数と三角関数の法則を両方expで書き出すともっと良い?