行列と線型写像

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from 東大1S1数理科学基礎：線形代数 行列と線型写像

• 一言でいえば、
  • 行列によって表せるベクトルの変換写像は線形性を持つ
  • なぜなら、行列とその演算にて①分配法則と②スカラー倍の結合法則が成り立つから
  • ということかな
• 行列の定める写像とは
  • $F:R^n \to R^m$の写像をm x nの行列によって表現できる
  • 
  • ベクトルの変換が、ベクトルと行列の掛け算に対応している
  • 平面の一次変換の一般化なので、同じ話が言える（写像の合成とか）
• 線型写像とは

  • 線形性を満たす写像

  • 線形関数, 線形変換の一般化って感じかな 線形XX

    線形関数	%e7%b7%9a%e5%bd%a2%e5%a4%89%e6%8f%9b">[平面の一次変換]	線形写像
    実数(1x1行列)で表現できる	2x2行列で表現できる	m x n行列で表現できる
    実数(1次元ベクトル)を変換する	2次元ベクトルを変換する	n次元ベクトルを変換する

    • 関数・写像・変換の違いは気にしなくても害はないと思う
      • 表記ゆれ程度の違いしかない
      • 論者によって独自に使い分けている場合はある
        • 例：『まずはこの一冊から 意味がわかる線形代数 (BERET SCIENCE)』だと「入力と出力の次元が等しい写像」のことを「変換」と定義している
        • こういうときはその議論でだけその定義に従えばいい
      • 写像 - Wikipedia

      • 関数、変換、作用素、射などが写像の同義語として用いられることもある。

      • なるほど
        • 関数は実数（1x1行列）しか受け取れないと勘違いして上の表を書いていたが、別にそんなことはなかった
        • 人によってはそういう定義を関数に与えている場合もあるので一概に勘違いとも言えない
          • 上にも書きましたが、基本表記ゆれだと認識して、テキスト・講師が独自に定義を与えている場合はそれに従う、というスタイルが思います

  • って感じ?

    • 図形的イメージも考えたい

  • 図形的イメージ

    • 例えば、ベクトルをθ回転させる写像は線型写像
      • なぜなら、
        • 2つのベクトルを回転させてから足すのと、足してから回転するので結果は変わらない
        • ベクトルをスカラー倍してから回転するのと、回転してからスカラー倍で結果は変わらない

  • 逆に線形じゃない写像って何？

    • 行列で表現できる以上、分配法則とか効くし線形写像なはず
      • 行列で表現されない写像がいっぱいある
        • $f(x)=x^2$とか行列では無理
        • あっ、すぐ下に書いてあったw
    • じゃあ、行列で表現できない写像を考えれば良いのか
      • 別にそれはいくらでもあるか

  • これ、線型写像の表現ベクトルは正方行列である必要はある？

    • 平面の一次変換は正方だった
    • あー、でも正方行列じゃないと、入力と同じ次元の出力が出ないってだけの話か
      • n次元ベクトルを別のn次元ベクトルに変えたい場合、正方行列じゃないといけない
      • 平面ベクトル→平面ベクトルの場合、2x2行列じゃないと