写像

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from 東大1S1数理科学基礎：線形代数 写像

• 写像とは

• 関数の一般化

  • 面白そう
  • 定義域をgeneralにした感じかな
  • 正直違いないです
    • 写像のうち、定義域と値域を数値に制限したものを函数といいがち、という程度

• たとえば、$f(x)=x^2$は、$ℝ$から$ℝ$への写像

• 定義

  • 集合XとYがある時、
  • XからYへの写像 $f:X→Y$とは
    • 全てのXの元$x$に対してYの元$f(x)$をただ一つ定める規則
      • ただ一つってのが大事っぽい
        • 関数の定義としてIBでやったな
      • ただ一つじゃないと$f(x)$という記法がそもそも成り立たないですからね

• 具体例

  • $f(x)=x^2$を写像として書くなら、
    • $f: ℝ\to ℝ \\ x \mapsto x^2$になる
    • 入力と出力の全体集合書いた上で、\mapsto を定める
  • 今までの関数っぽくないものだと、
    • 足し算も写像
      • $h:ℝ^2\to ℝ \\ (x,y)\mapsto x+y$
      • と書けば、ℝ^2（二次元）をℝ（一次元）に対応する写像
    • なるほど、haskell等で足し算等も中置記法の関数として扱えるのと似ている
      • と思ったけどこれ別に違うか、足し算の記号は別に定義してない
        • wrapしているだけ
      • まあ足し算も$ℝ^2\to ℝ$の写像ではあるという事だな
    • このあたりの表記のvariationは井戸端で書いてたな
      • あとでリンク貼ろ
  • 恒等写像は、入力と出力全部一緒の写像
    • 定義かくなら、
    • $id_X: X\to X \\ x\mapsto x$
      • 集合も元も前後同じ
        • 集合がちがければ、仮に元の対応が一緒でも恒等写像ではないのね
          • 定義考えるの大事
      • ここのXは集合を表すので、$id_x$ではなく$id_X$

• 単射

  • $X\to Y$において、
  • 全部のxが異なるyに対応している
  • これはXが何の集合なのかによって変わってくる（Yはどうでもいい）

• 全射

  • $X\to Y$において、
  • 全てのyに対して対応するxが存在する
    • これはYが何の集合なのかによって変わってくる（Xはどうでもいい）
      • $h:ℝ^2\to ℝ \\ (x,y)\mapsto x+y$は全射ではない
      • $h:ℝ^2\to ℝ^+ \\ (x,y)\mapsto x+y$は全射
  • 前提として全てのxに対応するyは存在するので、
    • xとyが全部紐づいているということになる
    • （重複はありえるので、全単射という訳ではない）

• 全単射

  • 全射かつ単射
  • つまり全部のxに対して対応するyが一つだけ存在する

• 

  • 全単射単射

    • f(x)≦0になるxがないのか

    • 全単射なら逆写像が存在するので、そこからも判断できる

    • x=0,1でf(x)は0なので単射ではない

• visualなイメージだと、

  • 単射:
  • 全射: どの高さ(y)でもグラフの点がある

• 合成写像

  • $g\circ f(x):=g(f(x))$はまあ関数と同じ
  • 大事なこととして、$f: X\to Y, g: Y\to Z$
    • 要はf(x)の出力とgの入力の型が合ってないと合成できないよという話
    • 今までは基本$ℝ^1$だったので意識してなかったけど、大事
    • 静的型付けプログラムじゃん
      • 数学=プログラムだから(やや暴論)
      • この気づき大事

• 逆写像

  • 合成写像と同じ様に、型がマッチしている意識は大事そう
  • 定義: $g\circ f = id_X$かつ$f\circ g = id_X$なら$f^{-1}:=g$
    • なるほど〜
    • 片方だけだとダメな例としては、
      • 

• 定理： 全単射なら逆写像存在する

  • これ、全射なら逆写像が存在すると言えない?
    • 違うか、not単射の逆写像を考えると、yに対して一つのxが定まらないので東大1S1数理科学基礎：線形代数に違反しているのか
  • 全射と単射の対の関係がちょっと見えた気がする