平面の一次変換

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from 東大1S1数理科学基礎：線形代数 平面の一次変換 - この時ノートpcで取ってなかったので、復習として要点と思ったことだけ書き出す - 平面ベクトルの一次結合 - ベクトル$\vec{v_1},…, \vec{v_k}$に対して、 - $λ_1\vec{v_1}+λ_2\vec{v_2}+…+λ_k\vec{v_k}$と言う感じで足し合わせた物を一次結合/線型結合と呼ぶ - 重み付けして足し合わせる感じか - 平面の一次変換/線形変換 - 行列とベクトルの積の演算を定義する - - この定義は、「行列とベクトルの掛け算」と「平面の一次変換」が同一なものになるように設計されている - なるほど〜、実用的な道具として恣意的に設計されている感が出てきた - いや、でもむしろ「平面の一次変換」と「$ℝ^1$の掛け算」を一般化しているとも捉えられるのか - この方が面白いな - つまり、2x2の行列と、一次変換が一対一で対応する - つまり全単射ということか - 一次変換に対応する行列を、表現行列と言う - この時、原点のベクトルを一次変換しても原点のままになる - 式を見れば自明 - 用語 - 単位行列$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ - 実数の1相当、掛けても何も変わらないと言う点で一緒 - 零行列$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ - 実数の0相当、何に掛けても0になるという点で一緒 - 何ができるのか - 向きを変えずに大きさをλ倍$\begin{bmatrix} λ & 0 \\ 0 & λ \\ \end{bmatrix}$ - y軸に関する鏡映$\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ - 回転$\begin{bmatrix} \cosθ & -\sinθ \\ \sinθ & \cosθ \\ \end{bmatrix}$ - これは、θ=0とか90の時にどうなるかを想像すると成り立ってるな〜と思える - 加法定理とかも一致してすげ〜となる - これはアフィン変換とかの話? - 概ね一緒だけど、細部が違うか、 - https://www.geisya.or.jp/~mwm48961/electro/transform2.htm#:~:text=写像のうち特に元,を１次変換という．&text=このような定数項,1次変換ではない. - アフィン変換には定数項があって、横に並行移動したりもできる - 一次変換には無い - その上で、一次変換は線形性を持っているといえる - さらに、行列の掛け算も定義する - これも、行列A, B, ベクトルVに関してA(BV)とB(AV)の一次変換が同じになるようにしたい - 合成変換に線形性が欲しい - そうなるような形で法則を定義する - 感想 - 写像の書き方、やっぱり型付けなんだよな - $F: ℝ^2 \to ℝ^2$みたいな書き方、func f(_: R^2) -> R^2って感じ - 一次と線形ってのは同義なのね - そりゃそうか