行列とその演算

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from 東大1S1数理科学基礎：線形代数 行列とその演算

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• これを、$A=(a_{i,j})$みたいな書き方をすることもある
• 用語
  • 正方行列
    • 縦横長さ同じなやつ
    • 対角成分: 左上から右下の対角線上の要素
    • 対角行列: 対角成分以外が全部0の正方行列
      • n次の対角行列とn次元ベクトルは全単射の関係だと言えるかな
  • 単位行列
    • 日本語で書くなら、対角成分が全部1の対角行列
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    • 実数の1に対応して、「掛けても何も変わらない」という性質を持つ
    • クロネッカーのデルタ
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      • という記号
        • $\delta_{i,j}$は、単位行列の$(i,j)$成分と同じになる
  • 零行列
    • 実数の0に対応して、「足しても何も変わらない」「かけると0になる」という性質を持つ
  • 演算
    • スカラー倍とか足し算とかはまあそりゃそうだねって感じの定義
    • 行列同士の積
      • どんなものでも掛け算できるわけではない
      • 前項に横線、後項に縦線を引く方法が一番やりやすいし直感的
      • l x m行列と、m x n行列の間は定義できる
        • 結果はl x n行列になる
        • なるほど〜
        • 線を引いて分けたら各ブロックが同じ次元のベクトルじゃないといけないので
      • これ、ベクトルの外積と関係はあるのかな
        • でもこの定義だとベクトル同士の掛け算はできないか
        • じゃあまたこれと違う演算?
      • 注意点
      • 法則
        • 結合法則
          • $(AB)C= A(BC)$
        • 分配法則
          • $A(B+C)=AB+AC$も$(A+B)C=AC+BC$も成り立つ
            • （交換法則が成り立たないので、上二つは区別する必要がある）
        • ⭐️交換法則は成り立たない
          • $AB ≠ BA$
          • 微妙に色々な演算法則成り立つので、こういうのは逆にトラップだな
          • まあでも気にするのはここだけっぽい
        • ⭐️けど、これは成り立つ:
          • $(λA)(μB)=(λμ)(AB)$（$\lambda$はスカラー）
  • 感想
    • 行列とベクトルの掛け算を平面の一次変換にしたい、というところから全部の定義が導出できるの面白い
      • それで色々整合性よくまとまるのがすごい
    • ノートの使い分け
      • IBの時によくやってたノートにトリッキーな問題はるやつを、GoodNotesでやるのが良さそうかも
      • 概念の説明はScrapbox
• 行列の応用
  • 行列と線型写像
  • 連立方程式の係数行列
    • $A \vec{x}=\vec{b}$として連立一次方程式が表せるよね、と