集合と写像

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- 集合 - 集合の要素は大学では[[元]]と呼ぶ - 集合は重複あっても順番違っても同一 -

{1, 2}={1, 2, 1}={2, 1}

- この点配列とは違うな -

{x\in X|P(x)}

と書く時、Pの条件を満たす全ての要素からなる集合 - .filter()みたいなもん - この解釈は新鮮

- たしかに

{x\in X|P(x)}\subseteq X

だからfilterととらえることもできるのか -

{x|x\in X \land P(x)}

ではなく

{x\in X|P(x)}

と書くところにfilter味を感じた

- 全体集合を定めた上でその中を走査する感じ - xの型が定まってないとP(x)の評価もできないからこう書くという事かな - 静的型付けプログラム〜〜

- 主な理由はラッセルのパラドックスを避けるためです

- このためZFC公理系だと

{x\in X|P(x)}

か

{x|\exists y\in Y;Q(x,y)}

しか許されないようになっている - (ここで

Q(x,y)

は

\forall y\in Y\exists!x;Q(x,y)

を満たす任意の論理式) - なるほど！、繋がった

- あ、表記は

{x|x\in X \land P(x)}

でも大丈夫です - ただ文字数が増えるからあまり使わないかな - この表記の場合、P(x)を確認すべきxの値の集合が明示されていないのは問題にならないのか気になる

- ZFC公理系の論理式をpassするので特に問題ないです

- リスト内包表記か -

A \setminus B

は、A and not Bの範囲を表す記号 - 新しい記号だ

- ＼setminusという専用の記号があったりします(書き換えました)

- 感謝

（TeX何もわからない） - 数学記号で調べると、wikipediaに載っていたりします

- 結構便利

- たとえば「0以外の実数」を

\R\setminus{0}

で表せる -

ℝ

は実数全体の集合 - この集合を(変数の数の方向で)一般化した、

ℝ^n

ってのがある -

ℝ^1

は、数直線の点全体の集合 -

ℝ^2

は、平面の点全体の集合 - 具体例は

(1,2)

とか

(-π, e)

とか - という流れ - ちゃんと定義するなら、 -

ℝ^3 := {(x,y,z)|x,y,z\inℝ}

という感じ - 少し問いを加えると、

(x,y,z)

の

()

はどう定義する？という話もある

- 直積集合の定義にはもちろん、写像と数列とベクトルの話にも関わってくる - 時間のあるときに調べてみるとよいです - 一般論として

ℝ^n

を考えつつ、分からなくなったら

ℝ^1

とか

ℝ^2

で図形的イメージを持って考えようと - なるほど〜

- こういうtips、良い先生みがある - 文字定数の具体化は非常に大事な考え方であり検算方法

- /takker/文字定数の具体化 - 直積集合 - 集合に掛け算を定義 -

X\times Y:={(x,y)|x\in X \land y\in Y}

- 掛け算といっても、値をくっつけるだけ -

ℝ^n

で累乗記号を使うのは多分ここで積の記号を扱っているからかな

- そゆこと

A\times ∅=∅

なのは非自明だな -

A\times ∅:={(x,y)|x\in A \land y\in ∅}

の場合、 -

y\in \empty

が常にfalseだから、

x\in A \land y\in \empty

が常にfalseで、要素は何もない - あ〜でも確かに掛け算みがある、これを[[積]]として定義する気持ちがわかる

- というか抽象化した掛け算の定義があるのかな、何か x 0/∅/etc = 0/∅/etc とか - ちなみに空集合は

\varnothing

です

- cf. /takker/空集合

from 東大1S1数理科学基礎：微分積分

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集合と写像

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ラッセルのパラドックス

東大1S1数理科学基礎：微分積分

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