集合と写像

Last updated Unknown Edit Source

from 東大1S1数理科学基礎：線形代数 集合と写像 - 集合 - 集合の要素は大学では[[元]]と呼ぶ - 集合は重複あっても順番違っても同一 - ${1, 2}={1, 2, 1}={2, 1}$ - この点配列とは違うな - ${x\in X|P(x)}$と書く時、Pの条件を満たす全ての要素からなる集合 - .filter()みたいなもん - この解釈は新鮮 - たしかに${x\in X|P(x)}\subseteq X$だからfilterととらえることもできるのか - ${x|x\in X \land P(x)}$ではなく${x\in X|P(x)}$と書くところにfilter味を感じた - 全体集合を定めた上でその中を走査する感じ - xの型が定まってないとP(x)の評価もできないからこう書くという事かな - 静的型付けプログラム〜〜 - 主な理由はラッセルのパラドックスを避けるためです - このためZFC公理系だと${x\in X|P(x)}$か${x|\exists y\in Y;Q(x,y)}$しか許されないようになっている - (ここで$Q(x,y)$は$\forall y\in Y\exists!x;Q(x,y)$を満たす任意の論理式) - なるほど！、繋がった - あ、表記は${x|x\in X \land P(x)}$でも大丈夫です - ただ文字数が増えるからあまり使わないかな - この表記の場合、P(x)を確認すべきxの値の集合が明示されていないのは問題にならないのか気になる - ZFC公理系の論理式をpassするので特に問題ないです - リスト内包表記か - $A \setminus B$は、A and not Bの範囲を表す記号 - 新しい記号だ - ＼setminusという専用の記号があったりします(書き換えました) - 感謝（TeX何もわからない） - 数学記号で調べると、wikipediaに載っていたりします - 結構便利 - たとえば「0以外の実数」を$\R\setminus{0}$で表せる - $ℝ$は実数全体の集合 - この集合を(変数の数の方向で)一般化した、$ℝ^n$ってのがある - $ℝ^1$は、数直線の点全体の集合 - $ℝ^2$は、平面の点全体の集合 - 具体例は$(1,2)$とか$(-π, e)$とか - という流れ - ちゃんと定義するなら、 - $ℝ^3 := {(x,y,z)|x,y,z\inℝ}$という感じ - 少し問いを加えると、$(x,y,z)$の$()$はどう定義する？という話もある - 直積集合の定義にはもちろん、写像と数列とベクトルの話にも関わってくる - 時間のあるときに調べてみるとよいです - 一般論として$ℝ^n$を考えつつ、分からなくなったら$ℝ^1$とか$ℝ^2$で図形的イメージを持って考えようと - なるほど〜 - こういうtips、良い先生みがある - 文字定数の具体化は非常に大事な考え方であり検算方法 - /takker/文字定数の具体化 - 直積集合 - 集合に掛け算を定義 - $X\times Y:={(x,y)|x\in X \land y\in Y}$ - 掛け算といっても、値をくっつけるだけ - $ℝ^n$で累乗記号を使うのは多分ここで積の記号を扱っているからかな - そゆこと - $A\times ∅=∅$なのは非自明だな - $A\times ∅:={(x,y)|x\in A \land y\in ∅}$の場合、 - $y\in \empty$が常にfalseだから、$x\in A \land y\in \empty$が常にfalseで、要素は何もない - あ〜でも確かに掛け算みがある、これを[[積]]として定義する気持ちがわかる - というか抽象化した掛け算の定義があるのかな、何か x 0/∅/etc = 0/∅/etc とか - ちなみに空集合は$\varnothing$です - cf. /takker/空集合

from 東大1S1数理科学基礎：微分積分