ラッセルのパラドックス
- 理解がむずい
- ややこしい集合を見てそれを脳でイメージする訓練が足りていなさそう
$R={ x | x \notin x}$
- Rとは
- 「「集合自身は属していない集合」の集合」ってことか
- ここで、RはRに属しているかを考える
- 属しているなら、
- Rの定義から「RにRは属さない」が真という事になる
- 矛盾。
- 属していないなら、
- Rの定義から、「RにRは属さない」が偽という事になる
- 矛盾。
- なるほど〜
- 数学のバグ感あって面白い
- 対策として、全体集合Uを定めて制約にする
- $R={ x | x \in \mathbb{U} \land x \notin x}$
- なんでこれでOKになる?
- Rが、「「集合自身は属していない集合」かつ「Uに属す」ものの集合」になる
- ここで、RはRに属しているかを考える
- 属していると仮定すると、
- Rの定義から、「RにRは属さない」and「Uに属す」が真という事になる
- 矛盾。
- 属していないと仮定すると、
- Rの定義から、「RにRは属さない」and「Uに属す」が偽という事になる
- 対偶をとって、「RにRは属す」or「Uに属さない」が真という事になる
- ここで、「Uに属さない」方が真と考えれば矛盾しない
- あんまり直感は生えてないけど、ロジックは理解した
- 要は、この定義によって、Rが全体集合から省かれるという事なのかな
- そうなると、R=Uになる?
- 仮にR以外の同じようなものを考えると？
- $S={ x | x \in \mathbb{U} \land x \notin x}$
- これならR=Sで終わりか
- $T={ x | x \in \mathbb{U} \land x \notin x\\ \land x \neq 1}$
- これならRはTを包含しているから、まあどちらにせよRは全体集合かな?
- ここで、「Uに属さない」方が真と考えれば矛盾しない
- 属していると仮定すると、
- $\Bbb{U}$は全体集合ではなく任意の集合でもいいです
- cf. 外延性公理
- たとえば$R={x\in\R|x\notin x}$など
- この場合$R\in R\iff R\in\R\land R\notin R$となって明らかに矛盾する
- 全体集合を「今考えている領域にある全ての要素を集めた集合」と解釈しているなら、このままでも大丈夫です
- 全体集合を「全ての集合を集めた集合」と考えている場合はまずいですが
- 「全ての集合を集めた集合」を素朴に考えるとパラドックスを起こす
- 全体集合を「全ての集合を集めた集合」と考えている場合はまずいですが
- なんでこれでOKになる?
- 属しているなら、
- {R}とかを考えると?
- {R}はRに属しているかを考える
- 別に{R}は普通の数字とかその他普通の諸々と何も変わりないのか
- なので普通に属している
- {R}はRに属しているかを考える