無限
- 理論計算機科学入門 有限と無限のあいだ 〜数学的理論から、AI・自動運転〜
- 人が物を数える方法と同じ
- 例えばりんごがいくつか並んでいたとする
- りんごの数を数えるには、一つずつ指差しながら「1, 2, 3, …」とすべてのりんごを指差すまで呟けばいい
- 指差しじゃなくて目配せでも勿論構わない
- 最後につぶやいた数がりんごの総数になる
- これは、りんごと自然数(の部分集合)を一対一対応させていることに他ならない
- 濃度の定義は素朴な数え方と全く同じだということ
- 人が物を数える方法と同じ
無限の次元が違う = 一対一対応ができない = 濃度が異なる
- 無限の次元が一つ上: 無限の集合から選んだ二項の間にさらに無限が入っている感じ
多項式時間/指数時間の考え方と似たものを感じる
例えば整数の集合と自然数の集合は、シンプルに数えたら倍ある
- でも、無限だからその差は押し潰されて一対一対応にできる (…-2, -1, 0, 1, 2…に、5,3,1,2,4って感じで整数を対応させる)
- 一見直観と反してしまうのは、数え終わりがないからでしょうね
- もしこれが有限集合同士なら、どちらかが先に数え終わり一対一対応をつくれないので、濃度が違うということになる
- e.g. ${0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}$と${0,2,4,6,8}$とを数え上げると、先に後者の方が数え終わってしまう
- 前者の要素のうちの4つの要素と対応させられる要素が後者に存在しない
- しかし無限集合の場合は数え漏れが永遠に発生しない
- もしこれが有限集合同士なら、どちらかが先に数え終わり一対一対応をつくれないので、濃度が違うということになる
それに対して、例えば整数と実数は一対一対応出来ない - 整数集合から二つ項選んだら、その間の項の数は有限 - 有理数集合から二つ項選んだら、その間の項の数は無限 - この比較はちょっとずれてるかも
- 2値間の項の数の有限/無限は関係ない - 確かにある2つの相異なる有理数の間には無限個の有理数があるが、一対一対応できないわけではない - 数え漏らしを発生させない数え方が存在する - あー、有理数と整数は同じ濃度なんですね
- 一方で実数の場合は、数え漏らしを発生させない数え方がそもそも存在しない - 証明は対角線論法 - 背理法でうそつきのパラドックス
#数学ガール
#数学