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• 無限

  無限

  ...指差しじゃなくて目配せでも勿論構わない 最後につぶやいた数がりんごの総数になる これは、りんごと自然数(の部分集合)を一対一対応させていることに他ならない 濃度の定義は素朴な数え方と全く同じだということ 無限の次元が違う = 一対一対応ができない = 濃度が異なる 無限の次元が一つ上: 無限の集合から選んだ二項の間にさらに無限が入っている感じ 多項式時間/指数時間の考え方と似たものを感じる 例えば整数の集合と自然数の集合は、シンプルに数えたら倍ある でも、無限だからその差は押し潰されて一対一対応にできる (...-2, -1, 0, 1, 2...に、5,3,1,2,4って感じで整数を対応させる) 一見直観と反してしまうのは、数え終わりがないからでしょうね もしこれが有限集合同士なら、どちらかが先に数え終わり一対一対応をつくれないので、濃度が違うということになる e.g. $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$と$\{0,2,4,6,8\}$とを数え上げると、先に後者の方が数え終わってしまう 前者の要素のうちの4つの要素と対応させられる要素が後者に存在しない しかし無限集合の場合は数え漏れが永遠に発生しない それに対して、例えば整数と実数は一対一対応出来ない [整数]]から二つ項選んだら、その間の項の数は 集合から二つ項選んだら、その間の項の数は この比較はちょっとずれてるかも 2値間の項の数の有限/無限は関係ない 確かにある2つの相異なる有理数の間には無限個の有理数があるが、一対一対応できないわけではない 数え漏らしを発生させない数え方が存在する あー、有理数と整数は同じ濃度なんですね 一方で実数の場合は、数え漏らしを発生させない数え方がそもそも存在しない 証明は で #数学ガール 集合を扱う意義: 無限を扱うため とを駆使しないと、無限を扱うのは難しい......

  1/3/2023