PHYSUN1601 Physics I： Mechanics and Relativity
Physics 1600 復習プラン Physics 1600 試験対策 受け方
- 式を写しながら話を聞いた方が良さそうだな
- 手書きノートの方が式やgeometryの細部に意識が向いて良さそう
- 基本kakeruに書くスタイルでやってみるかな
Final Summary
- binomial expansion、逆に忘れてたな
- a=kxの形式のやつ、ぱらめーたの関係を暗記しておきたい
- polar coordinate accerelation
- $\dot{\dot{r}}=r{\dot{θ}}^2$
- 3DにおけるEnergyのintegrationなど、まだあやしいところあるな
- line intetgralで良いの?
- separableじゃない3D mechanicsは解けない
- classical turning point
- E=K+Uで、if E=U(r) then K=0, v=0
- なるほど〜〜、理解した
- E=K+Uで、if E=U(r) then K=0, v=0
- inertial frame、分からん
- あ〜、別に物理はどんなframeでも成り立つが、同じintertial frameならForceの値が一緒だということか
- Mass Flow
- Δtを扱ってそれをinfinitesimalにするやつ、復習必要だな APplication of Energy
- 実際にx=f(t)の式を解かなくても、Forceとvelocityの式からenergyの式を導出すれば動きのイメージが持てるのが嬉しいところ
- turning pointとかを見れば色々分かるので嬉しい
Energy
- forceがfunction of positionの時、↑が成り立つ
- = あるxにおけるforceが常に同じな状況
- ex: gravity, SHM, etc
- a(x) = kxみたいなやつなら該当するね
- TODO
- energy conservationの導出確認
- conservative forceの意味、確認
- F=-dU/dxのminus signの意味を確認
- arbitrarynessを確認
- それなのにE=mc2が成り立つの、不思議
- 一応relativityでここの説明はあるらしい
Applying Newtonial Mechanics
- ある状況にapplyする時、constraintがありがち
- 例えば、机に置かれた物は$y > 机の高さ$という条件がある
- 例えば、紐に繋がれているボールには紐の長さより遠くに行けないという条件がある
- そして、constraintがある時、それらには絶対assosiated forceがある
- normal force, centrepetal forceなど
- Ex: Normal Force:
- 前提: surfaceがあるとき、$\vec v \cdot \hat n=0$
- ここから、$\vec a \cdot \hat n=0$, $\vec Σ(F \cdot \hat n)=0$
- なので、足し合わせて0にならない分を補うのがNormal Forceになる
- なるほど〜
- Ex: Tension Force
- lengthがconstantというconstraintから、二つのTension Forceの存在が導ける
- $m_{rope}a=\vec F_{T1}+\vec F_{T2}$
- その上で、ropeがmasslessという仮定から$\vec F_{T1}+\vec F_{T2}=0 \implies |F_{T1}|=|F_{T2}|=T$が導ける
- あ、ropeがmasslessだから、どんなにropeがaccerelateしていても二つのforceが0と言えるのか
- じゃなかったらropeのaccerelationのforceが他に影響してしまう、確かに
- あ、ropeがmasslessだから、どんなにropeがaccerelateしていても二つのforceが0と言えるのか
- lengthがconstantというconstraintから、二つのTension Forceの存在が導ける
- Ex: sprint
- [- $\ddot{ x} = -kx$というconstraint?]
- 違うか、$F_s=-ky$というのは$F_g=-mg$みたいな感じで導入する感じなのね
- これはconstraint forceではない
- これをtransformした結果、$ma=-ky$という式が得られる
- これは、gravity forceがかかっても同じ挙動をするのが導ける
- Constraint Forceは観察から導き出すものなのね
- 現実的な話として、Constraint ForceはLimitがありがち
- 紐は切れるし、机も割れる
- frictionだとこれをexplicitに扱う
- Procedure
- constrantを書き出す
- Free-body diagramを描く
- Newton’s second lawで力とaccerelation（=constraint）の関係を書き出す
- 計算が楽な座標軸を決めて、それぞれの方向に関して整理する
- この時に、constraint forceを消せるなら消す
Galilean
- Principle of relativity
- newtons laws holds on all intertial frames (transformed galileanly)
- あくまでもlawが成り立つだけ
- F, aの値は一意に定まる
- けど、velocityのmomentumの値はframeによって異なるよな
- でもΔvやΔp=Impulseは一定か、だからFやaの値から一意に導けるのね
- 反例っぽい奴
- $F=-mbv$ (drag forceがvと関係してしまっている）
- ただ、これは実は不正確
- どのframeでも成り立つようにするなら$F=-mb(v-v_0)$（v_0=空気の速度）
- 空気がoriginに対して移動しないと仮定した時のみ、F=-mbvと書ける
- どのinterntal frameでも成り立つ式を書くなら、Fと関わるのはΔvであってvではない
- なるほど〜〜
- どのframeでも成り立つようにするなら$F=-mb(v-v_0)$（v_0=空気の速度）
- あくまでもlawが成り立つだけ
- newtons laws holds on all intertial frames (transformed galileanly)
Impulse
-
- $Δp = I(t)$
- それはそう、Forceの面積がpの差分
Newton’s Law
- 前提として、
- Inertial Frame: frame where v = constant when there is no interaction with other paticle
- これは、あるparticleにつき無限にある（garrelian transformationをしてもacc.は変わらないので）
- Inertial Frameの中でのみNewtons Lawsが成り立つ
- 今までnewton law 1だと思ってたのは実は成立条件だったのか
- newton’s lawがpolar coordinateで成り立たない理由はこれ
- 今までnewton law 1だと思ってたのは実は成立条件だったのか
- Inertial Frame: frame where v = constant when there is no interaction with other paticle
- その上で、Forceというstate variableを考える
- 数学から物理を構築している感じがある
- $\vec F=m\vec a$
- Fとaいうstate variableは比例する、constantはmというstate variable
- ここでのFは、interaction with other particleの合計のnet force?
- 単純に全4タイプのForceのベクトルの合計取るのは違う、と
- え〜〜〜〜
- relativity考えると厳密にadd upできるのは、electromagnetic forceだけだと
- oh
- oh
- ただ、newtonian physicsであれば、gravitational & electromagneticはadd upできる
- 今まではこれをやっていたが、approximationであるのは知るべき
- 今まではこれをやっていたが、approximationであるのは知るべき
- え〜〜〜〜
- Third Law: $F_{21}=-F_{12}$
- 数学から物理を構築している感じがある
- これらは現実のobservationから導くhypothesisかな
- そうみたい
- そうみたい
- Law 2
- F=dp/dt自体は相対論でも成り立つ
- pの定義が相対論だと変わるので、F=maは成り立たなくなる
Translation
- galilean space: 等速でoriginが移動するspace
- 上の式の通り、そのspaceにおけるaccerelationは変わらない
- ここで、どのoriginでもtは変わらないと言う前提がある
- それが崩れるのがspecial relativityの話か、なるほど
- それが崩れるのがspecial relativityの話か、なるほど
- galilean space: 等速でoriginが移動するspace
Plane Polar Coordinates
- x=rcosΘ, y=rsinΘ
- まだnewton lawsの話はしていなくて、positionの記述の話しかしていないから、どんなcoordinateを使おうと何も話は変わらないのか
- newton lawで、「ものは一定velocityで動き続ける」とか言い出すと、それはcartesianでしか言えなくなるのかな
- 例によって微分して$\vec v$を出したい
- $\vec v = \dot r\hat r+r\dotθ\hatθ$になる
- これを微分してaを出したい
仮にr=Rでconstantとすると、constant magnitudeのaccerelation（$\hat r$と反対方向）が得られる
- $\vec a = -Rω^2\hat r$
- あ、これ知ってるやつじゃん
一般化すると、
- これのそれぞれに直感を持ちたい
例えば、回転するボールをlet goした時に、accerelationがないのはどう説明できる?
ここの一連の流れ、復習して自力で説明できるようになりたい
Vector Accrelation
- 実はaccerelationをanalyticallyに解くことはできない
- $a_x(x,y,t)とa_y(x,y,t)$があっても、xを出せないということかな
- $a_x(x,t)とa_y(y,t)$であれば、separableなので解ける
- まあでも限定的ケース、
- 逆に言えば、今までxとyに分解して物理できてたのはそういう限定的ケースだったからなのか
- この時は、x=f(t)とy=f(t)が取れるので、うまく変形すればy=f(x)が作れる
- trajectoryの関数がわかる
- $a_r(r,θ, t)とa_θ(r,θ, t)$に分けるのはできる?
Metrics
- 実は、三平方の定理で距離が取れるのは特別なケース（この世界）のみ
- それベースでvectorのdot productも定義されてるので、違う世界ならvector productも違う
- ここの式変形追いきれなかったので復習
Curve Distance
- APMAE2000 Multivariableでやったのと同じ話
- $ds=|d\vec r|=|\vec v|dt$
- なので、$s=\int^{t_b}_{t_a}|\vec v|dt$
- これを $s=⨐^{t_a}_{t_b}ds$、と書く
Poisition
- 原始的な定義として、affine space
- ただ点が複数ある状態
- 基準がないのでpositionの足し算はできない
- ただ、点同士の差分=距離は取れる
- arbitaryなoriginを定義する
- すると、position vector (positionとoriginの差分)が作れる
- やっとvectorが得られたので、足し算などが出来る
Plane Normal Vector Derivatives
- Vectorと、他のある基準vectorのΘの変化
- Important: 基準次第で値は変わるが、Θの増加は常に左回転を意味する
- （right handed coordinateにおいて）
- Important: 基準次第で値は変わるが、Θの増加は常に左回転を意味する
- component別に書くやり方(x,y,z)を微分しても、肝心な距離・角度情報がないのでビミョい
- ので、$\vec v =|v|\hat v$を微分したい
$\frac{d}{dt}\vec v=\dot{|v|}\hat v+|v|\dot{\hat v}$
- これは、directionしか変化しない/magnitudeしか変化しないケースを考えればわかりやすい
- 一定の方の項は、derivative=0なので消える
- これは、directionしか変化しない/magnitudeしか変化しないケースを考えればわかりやすい
$\dot{\hat v}$について:
- $\dot{\hat v}=\dot θ \cdot (\hat n \times \hat v)$
- unit vectorのderivativeは、unit vectorではない
- これは次元考えればそうで、そもそもd/dt unit vectorの単位は1ではなく1/timeになる
- 結果として、$\hat v$のderivativeは、vとperpendicular = 向きしか変えない
- 分かりやすい
- ので、$\vec v =|v|\hat v$を微分したい
3.n 3D Kinematics
- Vectorをただの複数の数字の束と捉えるのは良くない
- あ、そう捉えていた
- なぜ..?
- あ、そう捉えていた
- 大事な事: starting pointはなく、差分しか表さない
- それはそう
- それはそう
- 矢印とかは、Vectorのrepresentationの一つ
- $\hat V$は、Vのunit vector $= \frac{V}{|V|}$
- 大事なのは、これはdimentionless
- すなわり、$\vec V=|V|\hat V$と表す時、|V|のdimentionは$\vec V$と同じ
- これちょっと非自明かも
- Cross product
- $n=v_1 \times v_2$を考える
- cross productの結果の角度のイメージ、v1からv2の角度が正なら、平面からのnormalの角度も正（つまり前に飛び出てくる）、みたいなイメージを持てばright hand ruleとかいらない
- $n=\hat v_1 \times \hat v_2$なら、$|n|=\sin\theta$
- もしΘ=90なら、$n=\hat v_1 \times \hat v_2 = 1$で、また新しいunit vectorが出来る
- xとyのunit vectorのcross productをとると、zのunit vectorが生える
- もしΘ=90なら、$n=\hat v_1 \times \hat v_2 = 1$で、また新しいunit vectorが出来る
- $n=v_1 \times v_2$を考える
3: 1D Kinematics
- とりあえずxというstate variableの一次元を考える
[x] = length
- 0の位置とか座標系の選択はarbitaryであって、それによって物理は変わらん
- そりゃそうだけど、それを数学的に示せるの大事そう
- そりゃそうだけど、それを数学的に示せるの大事そう
- そこから微分してv, 2回微分してa
- そりゃそう
- $f(x)=3x$
- なので、$x(t)=x(t_0)+\int^t_{t_0}dt’v(t’)$だし、$v(t)=v(t_0)+\int^t_{t_0} dt’ a(t’)$
- それもそう、基本
- 高校物理ではintegralの代わりに$x=v(t-t_0)$と書いていた
- ==しかし、それはvがconstant かつ x(t_0) = 0の時だけ==
- もしくは$〈v〉=\frac{1}{Δt}\int^t_{t_0}dt’v(t’)$とaverage vを定義して、それ$x=〈v〉Δt$とかもいえる
- ==しかし、それはvがconstant かつ x(t_0) = 0の時だけ==
- なので、definite integralの上限下限とかをちゃんと意識せいというのが言いたそう
- 確かに結構今まで曖昧に数学でやってたかも
- 実際first order differencial equationとかで下限雑にやると間違える
- Drag Accerelation
- $a =-kv$とか、$a =-g-kv$とすると、vはterminal velocityで収束するという話
- first order dif eqで解くと、$v=v_0e^{-bt}$になる
- 復習
- quadratic dragの話、授業で扱ってないので復習すべき
- -gがあるときのdrag accerelationの計算
- 計算すると、初期のvがなんであろうと同じterminal velocityに収束する事が分かる
- $a =-kv$とか、$a =-g-kv$とすると、vはterminal velocityで収束するという話
- 2nd Derivative
- $a=\frac{d^2x}{dt^2}=f(x)$（f(t)ではない）
- ここからaをtで表現したい時、右辺をIntegrateはできない
- tの関数ではないので
- これは、energy methodを使うと楽にとけるが、それは後でやるらしい
- 2nd Derivativeの特殊ケース$a=+Kx$,$a=-Kx$を考える
- $a=-Kx$
- 復習
- 色々式変形をしているのを改めて追う
- これに合う唯一の式を考えると、x=asin()+bcos()になる
- 変形すると、simple harmonic motionになる
- SHMを逆から導出していたのか
- 変形すると、simple harmonic motionになる
- 復習
- $a=+Kx$
- これはe^xの形になる
- 実はこれをhyperbolyc sin/cosで表すと-Kxと同じ様な形になる
- すげ〜
- すげ〜
- 実はこれをhyperbolyc sin/cosで表すと-Kxと同じ様な形になる
- これはe^xの形になる
20220913
- この授業、内容を自分で自由度高いノートで整理するのが良さそうなのでgoodnotesで書く..?
- いや、そもそも元のが強いからいいか
20220908
20220906
初回前
- ファインマン物理学をよんでこい、と
coordinate transformations and symmetries, approximationあたりを大事にしていそう
本質理解大事にしているみたい
While I am very familiar with the complexities of being an
undergraduate in college, I beg you, please do not allow yourself to evolve
into a mode where you are starting and trying to complete reading or problem
sets at the last minute. If you allocate time each day to read and work through
the material in the notes and start the homework before recitations so you
can take maximal advantage of the interaction with the TAs, I have every
confidence that you can succeed in the class. However if you do not dedicate
the required time and attention, no matter how effective I am and/or the TAs
are, it will be difficult for you to succeed.
- はい…
課題
- Fri -> Next Sunday 9日ある
教科書
- kleppner and kolenkerのやつがある
- berkeley physicsとmitのもある
- course notesを一応mainのやつとして扱う
計算機
- 授業/試験ではいらない
- 宿題でいるかも?
point particles
- $N_{DOF}$
- チョークとかprotonとかはpoint particleではないが、そう仮定することは当然ある
- electronとかは本当にpoint particle
- へ〜〜
- へ〜〜
物理で扱うquantities
- physical constant
- なぜか決まってるやつ
- state variables
- 大体物理はこれらの関係を扱う
- それ以外のやつがstate variableとどう違うのか分からん
- physical constant
term
- coordinate vs position
- coordinateはvaried、positionは特定の一つ
- coordinate vs position
- coordinate vs position