複素数

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• 詳しい話は全部書くと大変だから省くけど、数学ガール

  数学ガール

  今のところところ2巻読んで、両方ともラストのレベル上がるところで挫折してる 高校数学は一応全部勉強したので、読みやすくなってる気がする 3月までに全部読みたいな ...

  1/3/2023

  ガロア理論に色々と面白い話があった

• 学校で学び始めたらもう一度読めば、授業とも繋がって良さそうだなーと思った

• 線形空間とかベクトルとか[[体]]とかとつながる

• 円分多項式とか

• g11sem2midterm前に色々考えた

  • 複数解あるかどうかがすごいややこしい、全然りかい出来ていない感じがする
  • 高校数学は気持ちで複素数を扱ってるなーという気がすごいした
  • 何も分からないにたどり着いたw

• 冪乗の指数が整数なうちは、解がひとつ

  • （ド・モアブルの定理定理のnの範囲が整数なのもこれが理由）
    • $2\pi$に整数をかけてもくるくる回って戻ってくるだけ、でも実数をかけちゃうと複数解生まれる
  • 指数が実数になるとややこしい（多価関数?）

• てか解が複数になっちゃうのは三角関数を持ち込んだからでは?

  • でもオイラーformは三角関数ではない

• ルートをかぶせる(^0.5する)だけで解は複数になる

  • $x^2=a$の解は複数になりますが、無理関数$f: x\mapsto\sqrt{x}$自体は関数なので値が一意に定まります
    • 
  • オイラーの公式は、実数の累乗で解が複数になる現象を、三角関数で違う値が同値になれる現象と紐づけた
    • 解の個数から攻める解釈も面白そう
    • ただもし関係性が解の個数だけだと、別に三角関数と対応付けする必要性が無くなっちゃうんですよね
      • 周期関数なら何でも良くなる
        • ノコギリ波とか
    • 個人的には、オイラーの公式の一番重要な点は指数関数と回転を結びつけた点にあるんじゃないかな～と考えています
  • 「三角関数で違う値が同値になれる現象」
    • $\cos\pi=\cos3\pi=\cdots\cos((2n+1)\pi)$
    • 違う値が同値になってるんじゃなくて、ただ三角関数が多価関数ってだけ?
      • 違う入力に対して同じ出力が出ているだけです
      • 2次関数$f:x\mapsto x^2$と全く同じです
        • $f(-2)=f(2)$
    • 三角関数は多価関数ではないな
      • arccosも多価にならないように出来てる
        • これを多価にする=オイラーの公式のθの範囲を自由にする
        • ってことか
          • arccosは一価だからシンプル、複素数はオイラーが多価だからややこしい（値が複数になりえる）
            • このオイラーって何を示していますか？
              • オイラーform$z=e^{i\theta}$のことですか?
              • です
      • 多価関数の定義で混乱している感じがします
        • 多価関数
          • ある入力値$x$に対して、出力値$y$が一意に定まらない関係$f$のこと
            • $\lnot\forall x\exists!y;f(x,y)=0$
          • そもそも関数ではない
            • 関数の定義を満たしていない
            • なので$y=f(x)$と書くこと自体アウト

• 複素数の捉え方をずれてるような気もします

  • $f: \theta\mapsto e^{i\theta}$は多価関数ではない

    • 多価になるのは、逆関数に相当する対数関数$\ln z$
      • $\begin{aligned}&z=e^{i\theta}=e^{i\theta+2ni\pi}\quad\mathrm{for}\forall n\in\Bbb{Z}\\iff&\ln z=i\theta+2ni\pi.\quad \mathrm{for}\forall n\in\Bbb{Z}\end{aligned}$

  • 複素数は回転を生む

• 多価関数、逆関数、主値について調べてみるといいかも

  • 関数$\theta\mapsto e^{i\theta}$を虚軸と実軸に投影したものが三角関数と考える解釈が個人的には好きです
    • xyz座標に対して、$x=\theta$, $y=\Re(e^{i\theta})$, $z=\Im(e^{i\theta})$と置くと、螺旋のような曲線がplotされる
    • これをxy平面に投影すると$\cos\theta$に、xz平面に投影すると$\sin\theta$になる
    • いい感じのの図を貼りたかったのですが、見つかりませんでした。すみません
      • Newton別冊とかにきれいな螺旋曲線が載っているので読んでみるといいです
      • どの別冊だったかは覚えてないです。
        • 多分 数学の世界 数と数式編 | ニュートンプレス か 虚数がよくわかる 改訂第２版 | ニュートンプレスかな？
  • 三角関数の計算を$e^{i\theta}$で置き換えるだけで計算が楽になる