発散

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from 東大1S熱力学

• 発散 divergence
  • 前提: 成分が関数であるベクトル値関数$\bold{F}:=(F_x, F_y, F_z)$を考える
    • まって何これ
    • ラムダ式の配列みたいに捉えて良いのかな
    • $F_x$とかは、それぞれがx,y,zを取る変数らしい
    • つまり、三次元空間のそれぞれの座標にベクトルがある、というイメージか
      • なるほど
      • 電場とかがそうだね
        • 他にもスカラー場やベクトル場の身近な例を探してみるといいかも
    • これをベクトル場と言うらしい
      • 物理の[[場]]っぽいし、しっくりくる
  • 沸き出し/吸い込み
    • 立方体のそれぞれの面のベクトルを考える
    • 流出量の和 - 流入量の和 を考えて、
      • もし正なら湧き出し
      • もし負なら吸い込み
      • と捉える
        • なるほど
  • 発散とは
    • 沸き出し/吸い込みをもうちょい数学的に考える
    • https://www.youtube.com/playlist?list=PLDJfzGjtVLHkFl7M_MjP_Y9R_8EQfVlPP
    • ヨビノリで理解した
    • 微小直方体における発散$=\left(\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}\right)dxdydz$
      • この時、$\frac{\partial F_x}{\partial x}$では
        • 偏微分で得られる傾きにxの変化量(dx)をかける事で、xが変化した時のF_xベクトルの変化量が得られる。
        • 変化量に面積(dydz)をかける事で、微小直方体の面全体の発散量が分かる
      • 同様の事をy, zでもやっている
    • 単位体積あたりの発散= div F$=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$
      • 微小直方体における発散を、その直方体の体積（dxdydz）で割れば、単位体積あたりの値が得られる
      • これは、微分演算子を使って$\nabla \cdot F$としても表現できる
        • なるほど、ここでdot productを使うわけか