共通テスト数学 覚えるべき公式

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  GDC 面積をもとめるとき インテグラるで入力するより、ぐらふ書いた方が楽 連立の解を求めるとき ...

  1/3/2023

  Formula Bookletの中でが覚えてないやつ
  • arithmetic$S_n=\sum^n_{i=1}u_i=\frac{n}{2}(u_1+u_n)$
  • geometric $S_n=\sum^n_{i=1}u_1r^{i-1}=\frac{u_1(r^n-1)}{r-1}$
    • ただし、$r\neq 1$
  • polynomial
    • sum $\frac{-a_{n-1}}{a_n}$
    • product $\frac{(-1)^n a_0}{a_n}$
  • 数2Bなら、多項式の積分を高速で解く練習をすべき
    • $\int_{1}^{2}\left(3 x^{3}+3 x+4\right) \mathrm{d}x$のようなやつ
    • センターのときは、これを使った面積計算を以下に早く解けるかがかなり重要だった
      • 共通テストだとどうなのかはちょっとわからないです。すみません
    • beta函数を使えるところは積極的に使う
      • そのままでは適用できなくても、少し変形するとbeta函数を使えるケースもある
  • triangle $A=\frac{1}{2}ab\sin{C}$
    • 三角形の底辺($a$)×高さ($b\sin C$)割る2
  • double angle identities
    • $\sin2θ=2\sinθ\cosθ$
    • $\cos2θ=\cos^2θ-\sin^2θ=2\cos^2θ-1=1-2\sin^2θ$
  • compound angle identities
    • $\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm \cos A\sin B$
    • $\cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp\sin A\sin B$
    • この2式は確実に覚えるべき
      • 覚え方は語呂だったり$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$からの導出だったり色々あるけど、自分に合うものを使えばいいと思う
    • それ以外の派生式を覚えるかどうかは人に寄って意見が変わる
      • 少なくとも覚えたほうが計算速度が上がるのは確か
      • ただ、式自体を覚えるというより、この2式からそらで導出できるようにしたほうがいいと思う
        • 少なくとも「式は覚えているけど導出できない」より、「式はうろ覚えだけどすぐ導出できる」の方がずっといい
        • 上位大学の試験では、「式を覚えているか」より「その式の背景にある原理・導出がわかっているか」が問われるので、その場ですぐ導出できるほうが有利だと思う
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        • ちなみに一番有利なのは、「何度も導出している間に覚えてしまった」パターン
          • 練習量がものを言うケース
    • 式がうろ覚えで不安なときは、適当な値を代入して検算する手も有効
      • 例えば$\cos2\theta$が$2(\cos\theta)^2-1$か$1-2(\cos\theta)^2$かわからなくなったときは、$\theta$に$1$や$0$や$\frac12\pi$を代入して確かめればいい
      • 今回は
        • $\left.\cos\theta\right|_{\theta=0}=\cos0=1$
        • $\left.2(\cos\theta)^2-1\right|_{\theta=0}=2\cdot1^2-1=1$
        • $1-\left.2(\cos\theta)^2\right|_{\theta=0}=1-2\cdot1^2=-1$
      • より$\cos2\theta=2(\cos\theta)^2-1$だとわかる
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    • 数2Bの範囲だともしかして不要?
      • あー、三角函数の微積分は数IIIの範囲だったかも
        • は共通テストの時代の人間ではないので、このあたりは先生に聞くのがいいと思います
  • $\cosec\theta,\sec\theta,\cot\theta$の表記は分数を省略できるメリットがある一方で、とっさの計算で混乱する要素もある点に注意
    • $\cosec\theta\sin\theta=1$は計算しづらいが、$\frac{1}{\sin\theta}\cdot\sin\theta=1$なら式の形を見ただけですぐわかる
  • $\def\d{\mathrm{d}}\frac{\d}{\d x}\left(\frac{1}{\tan\theta}\right)$も導出できるようにしとくべき
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