Physics 1600 8. Systems of particles
- Physics 1600 8. Systems of particles
- from Physics 1600 復習プラン
- Physics 1600 8. Systems of particles
- 8.1 Basic formulation ……………………..227
- forceをinternalとexternalに分ける
- ここの"system"の境界はarbitary #システム
- その上で、internal forceのsumは0
- なので、例えばparticleの集合の物体を一つのsystemとすれば、external forceのみに注目して議論ができる
-
8.2 Centerofmass……………………….232
- External Force = 0と
- Cener of Mass Frame
- center of mass frameで複数の物体の動きを考える
- この時、external forceが無ければcenter of mass frameでのmomentumは0 → garellian transformationをして momentumは一定であるといえる
- この時、elastic collisionになるのか！
- それは関係ないか、momentumはどちらにせよconservedで、KEがconserveされるかは状況次第
- COM velocityが一定 = total momentumが一定 = External Forceがない
- reduced mass
- よくみるので記号にしておく $$3\times5$$
- 8.3 Examples………………………….235
- COM velocity constant = total momentum constant = COM accerelation is 0 = no external force
- これ大事
- COM velocity constant = total momentum constant = COM accerelation is 0 = no external force
- 8.3.1 Perfectly inelastic collisions …………….23
- momentum conserved なら、COM velocityが一定、なるほど
- external force & accはかからないので、わかる
- ここで、KEはnot conserved
- これが自明なのが大事
- #疑問 ここでframeによってKE変わるが、それはどう捉えれば良い?
- 8.3.2 Inverse inelastic collisions ……………..237
- ここでも、色々なframeの捉え方がある
- Runnerの力はexternal forceではない、なぜ?
- Newtons lawでCancel outするからか
- Forceとaccerelationを関連づけるなら、Internal Coordinateじゃないといけない
- ので、COM relativeなcoordinateを使う
- ForceからCOM relative velocityを出す
- この時、当然COM velocityの初期値次第で値は変わる
- が、COM velocityは一定なので問題なくintegrateはできる
- あとは、そこからmotionを出せば良い
- 8.3.3 Gravitational and other external forces . . . . . . . . . . 240
- system全体へのexternal forceを考える
- これは、massが一定なのでg forceも一定になる
- この時COMはaccerelateしているのでinternal frameではない
- Drawing 2022-12-10 18.59.13.excalidraw
- #疑問 うーん、なんでこれはこう言えるんだ?
- systemがaccerelateしているってのも相対的な話
- それでも、COM relativeなcoordinateを考えるのは有益
- 例えばここの例の場合、Grav accはsystem全体とその物体で一緒なので、cancel outしてinternal forceのみを考えられる
- こうなると実質的にinternal forceとCOM relative coordinate を関連付けて計算できるのか
- まあでもこれはgrav accだけ
- 例えばここの例の場合、Grav accはsystem全体とその物体で一緒なので、cancel outしてinternal forceのみを考えられる
- system全体へのexternal forceを考える
- 8.3.4 The“push-me-pull-you”………………241
- ==COM relative coordinateは関連しているから自分以外が全て分かれば自分がわかる、大事
- なので二つのparticleの場合は、お互いを関連づけられる
- テストに出そうなので計算を改めて追いたい
- 最終的に出るvelocityで、inch-worm的動きが明らかになるのはなるほど〜と思った
- ==COM relative coordinateは関連しているから自分以外が全て分かれば自分がわかる、大事
- 8.4 Momentumandenergy…………………..245
- ここのimplication確認blu3mo.icon
- energyがconserveしないみたいな現象は起きなくて、それはΔx=0とするapproximationが悪い
- ちゃんとΔxも含めて計算すれば、$$W=-F_fΔx=ΔK$$で、ΔKがmotionと繋がるのでmomemtum-basedとenergy-basedで同じ結果を得れる
- まあでもそれはそれとして、KEがworkに変換されてdissipateするのは変わらないので、KEが減るのは事実
- 8.4.1 Howtocatchanegg…………………246
- Decreasing ∆xcm by increasing FN doesn’t help for obvious reasons.
- #疑問 なぜ?
- 8.5 Mass and momentum flow problems ……………249
- 8.5.1 Rocketpropulsion………………….250
- System全体: p(t+Δt)-p(t) = external force ### Δt
- 8.5.1 Rocketpropulsion………………….250
- massは変化しない
- 重力とかはext forceになる
- https://kakeru.app/d565f3fba4e3139f24c2e28d0ba9e7fe
- Newtonian mechanicsだとmassの変化を扱えないが、ここではsystem全体で一定のmassのものを扱っているのでセーフ
- なるほど👦
- テクニックとしてdmdtみたいなinfinitesimal limitの二乗のやつは消して良い
- dp/dt以上微分しないなら、結局何しても0なので
- 8.5.2 Fallingraindrop…………………..253
- Screenshot 2022-12-10 at 8.59.29 PM.png
- Δxが、潰れるdisplacement
- #疑問 なぜ"6433. Decreasing 6462 ∆xcm by increasing FN doesn’t help for obvious reasons"?
- これを、KEが消え去ったと捉えるのではなく、word doneと捉えようという話か
- #疑問 6469. unless the impulse due to the force applied by the cup is sufficiently large. なぜ?
- forceがlargeなら、一瞬でCOMのspeedが変化するので、Δxも小さくなる
- ただ、forceがlargeだと結局割れてしまう
- #疑問 これはなぜ? Δx以外にも割れる要因がある
- how to catch the egg
- Screenshot 2022-12-10 at 9.27.33 PM.png
- v_0 を小さくした上で、小さいforceを長い時間与え続ける
- ~~v_0は、COMとのrelative velocityかな
- なので、手を落下速度と同じスピードにすればv_0=0になる
- #疑問 いや違うわ、わからん 8.5.3 Momentum transport by stream of particles . . . . . . . 254
- これはair dragと本質的には同じことなのかblu3mo.icon*3
- square 8.5.4 Gas Pressure…………………….257 8.6 Energyinsystems ……………………..259 8.6.1 Formulation …………………….259
- configuration spaceという概念を扱う
- $$\vec r = (\vec r_1, \vec r_2, …,\vec r_N)$$
- 各パーティクルのvectorが含まれたvectorなのね
- 式変形していくとこれになる
- Screenshot 2022-12-10 at 9.48.56 PM.png
- #todo ここの式変形（というか元々のenergyのやつ）、追いたい
- ここで、==各particleにこの式を分解できないの注意
- Fはrのsingle-valued functionである必要があるのは前やった
F=F(\vec r_a, \vec r_b, ...)ということ
- なので、particle aのrの値が一定でも、それ以外のparticleのrが違う場合はsum Fも違う
- Important: 同じ理由で、Potential energyのinitial condition $U(r_0)$も$r_0$がfull configurationじゃないといけない
- Fはrのsingle-valued functionである必要があるのは前やった
- ここで、3 particlesのgrav potentialを考える
- Screenshot 2022-12-10 at 10.22.16 PM.png
- これが分からん
- あー、理解
- $Δr=(∞-r_1)$の時のPotentialと、$Δr=(r_2-r_1)$の時のPotentialの差分がwork done
- ただ、前者のUは0、後者のUはnegativeなので、結果こうなる
- Screenshot 2022-12-10 at 9.48.56 PM.png
- ここで、powerは
- coordinate変わってもenergyは変わらない?blu3mo.icon
- いや、Vはgalilean transforamationで変わるよな 8.6.2 Forcesandpotentialenergy …………….267
- Screenshot 2022-12-10 at 10.36.28 PM.png
- 大事なimplication
- なので、potential functionを$δr_1$で偏微分してFを得る事ができる！ 8.6.3 EnergyusingCOMcoordinates …………..270
- まあなんか自明な計算をするとせやなって感じの式が出てくるが、これがmechanicsで色々大事らしい 8.7 Simultaneous application of momentum and energy techniques 271
- 今更だけど、energy conserve, momentum conserveの条件ってなんだっけ
- energy: conservative forceのみであること
- momentum: external forceのみであること
- かな 8.7.1 Scatteringprocesses…………………272
- 回転はせずに、中心点だけ動かすと、COMではsame angleでscattar することになるのか 8.8 Center of mass of continuous mass distributions . . . . . . . . 275
- constant densityの前提なら、slice位置でareaが変わる3d図形のCOMを出したりできる
- multivariableをやりたくないので、Areaはareaでfunctionとして切り出す、なるほど
- 仮にdensity変わったとしたら、double integralをやる、なるほど
- naturalな流れでmutivariableに近いことをやってる、説明が上手い
- Screenshot 2022-12-11 at 12.55.57 AM.png 8.8.1 COM position and symmetries
- symmetrical densityがありがちなので、そういうのは計算しなくてもわかるよねと証明している
