Physics 1600 2 Quantitative methods
from Physics 1600 復習プラン Physics 1600 2 Quantitative methods
- 2.1 Physical quantities, units and dimensions, notation . . . . . . . 22
- 2.1.1 Types of physical quantities . . . . . . . . . . . . . . . . 22
- 2.1.2 Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
- 2.1.3 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
- notation
- $v’$は、基本的に亜種を指す（微分ではない）
- notation
- 2.1.4 Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
- dimention analysis
- ［θ］とかはの無次元は1になるのね
- dimention analysis
- 2.1.5 Numerical values of physical quantities . . . . . . . . . 30
- 2.2 Mathematical functions, time derivatives and integrals . . . . . 31
- 2.2.1 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
- 2.2.2 Behaviors of commonly-used functions . . . . . . . . . . 35
- function、出力が一つという定義なのは物理にも都合が良い
- 現象を記述する解が2つだと当然どっち？となるので
mathematical functions usually take dimensionless arguments and yield dimensionless values.
- mathematical functions: sinとかcosとかexponentialとかみたいなやつ
- arbitaryに定義するx(t)とかではない
- そりゃそう、tを取っちゃってるしxを返す
- arbitaryに定義するx(t)とかではない
- e^nとかcos(n)とかが公式に登場する時にnはdimentionlessというのは分かる
- $f(x)=x_0e^{t/τ}$とか
- (t/τ)はdimentionless, τはtime constant
- $f(x)=x_0\cos(\omega t)$
- ωtはdimentionless, ωはangular frequency
- $f(x)=x_0e^{t/τ}$とか
- exceptionsは3つ
- $f(t)=t^2+t$とかは当然dimentionfulなargumentを取る
- ただ、tは基本的にt^2とかt^3にしかならない
- quadratic function $f(t)= \sqrt{t^2+d^2}$
- これは、tというargumentを取っているが、実はうまく変形すればdimentionless argumentになる
- $f(t)=d\sqrt{1+(\frac{t}{d})^2}$に変形できて、ここでのargumentはdで相殺されている
- なので、$[f(t] = [d] = [\frac{1}{t}]$ということかな
- log function
- $\log{Q_1}-\log{Q_2}$はdimentionあるやんと思うけど、$\log{\frac{Q_1}{Q_2}}$と書けばdimentionless
- 実際logの引き算は$Q_1, Q_2$の比率の問題なので、単位関係ないというかんがえかた
- $\log{Q_1}-\log{Q_2}$はdimentionあるやんと思うけど、$\log{\frac{Q_1}{Q_2}}$と書けばdimentionless
- $f(t)=t^2+t$とかは当然dimentionfulなargumentを取る
- mathematical functions: sinとかcosとかexponentialとかみたいなやつ
- function、出力が一つという定義なのは物理にも都合が良い
- 2.2.3 Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
- $\frac{df}{dx}$は分数ではなく、それ単体の関数みたいなもの（$deriv_x(f)$みたいなイメージ）
- なので分数としてdxをcancelしたりは本来はできない
- $\frac{df}{dx}$は分数ではなく、それ単体の関数みたいなもの（$deriv_x(f)$みたいなイメージ）
- 2.2.4 Infinitesimal limits and differentials . . . . . . . . . . . 44
- infinitesimal = 無限小
- 小要素がないので忘れそう
- infinitesimal = 無限小
- 2.2.5 Second- and higher-order derivatives . . . . . . . . . . . 45
- 2.2.6 Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
- integration
- 積分する時に中の変数を区別して’をつけるの、position/coordinateを使い分ける意識として大事 (p50)
- FToCで、lower limitもちゃんと計算するのとても大事
- ==t_0=0だとしても、f(t_0)が0とは限らない==
- 逆に言えば、indefinite integralでCを使うなんてことは基本起こりえない
- ちゃんとt_0を計算すれば、それがCになるので
- integration
- 2.3 Functions of time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
- 2.3.1 Time derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
- 2.3.2 Time integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
- 2.3.3 Time averages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
- 2.4 Integrating first-order differential equations . . . . . . . . . . . 55
- first order differential equation
- dQ/dt=-Q/t、みたいな感じで右辺に関数自体が入ってるタイプ
- 項を移動して解ける
- dQ/dt=-Q/t、みたいな感じで右辺に関数自体が入ってるタイプ
- first order differential equation
- 2.4.1 Method 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
- TODO: 余裕あればこれと2の違いを追いたい
- 2.4.2 Method 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
- 2.5 Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
- approx
- 具体的にみるのは初めてだな
- dropするpowerは一貫性が大事
- 具体的にみるのは初めてだな
- approx
- 2.5.1 Binomial approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
- p63質問したい
- $(1+x)^a\approx 1+ax$はパッと出るくらい直感にしておきたい
- 2.5.2 Small-angle approximations . . . . . . . . . . . . . . . . 63
- TODO: この証明は自力で一回出したい
- ==一つ（例えばsinΘ=Θ）を使ったら、他のやつ（cos, tan）でも使う必要がある==
- θ « 1は、lim θ to 0ではない
- のでsmall angle approxを使えたとしても、approximationの域を出ない意識は大事
- TODO: この証明は自力で一回出したい
- 2.5.3 Taylor expansion and approximations . . . . . . . . . . 64
- $1/n!$と、$f(x_0)^{(n)}$と、$(x-x_0)^n$のnが一致している
- f(x_0)はconstantである理解大事
- errorを理解したい
- k+1で取る
- 本来よりexpansionは低めに推定しているので、errorはnegative
- 2.5.4 Example 1: binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
- (a)(a-1)などの項だけが積み上がっていく
- 2.5.5 Example 2: exponential function . . . . . . . . . . . . . 66
- ==e^x (x=0)は何階微分しても1なので、それ以外の部分だけが積み上がっていく==
- 2.5.6 Example 3: sin θ and cos θ . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
- data bookletにのってたsin/cosのexpansionの意味がわかる
- ==θ=0の時にsinθ=0になるので、微分した結果sinθか-sinθになった項は消える==
- なので1/1!-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!みたいな感じになる
- first termにtruncateすれば、sinθ=θ, cosθ=1になる
- なるほど
- なるほど
