指数・対数法則の不成立

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https://ja.wikipedia.org/wiki/冪乗#指数・対数法則の不成立

正の実数に対する冪および対数に関する等式のいくつかは、複素数冪や複素対数がどのように一価函数として定義されようとも、複素数に対しては成り立たないことが起こる。

• $\forall z,w\in\Bbb{C};e^ze^w=e^{z+w}$は成り立つ

• $\forall n\in \Bbb{Z}\forall z\in\Bbb{C};\left(e^{z}\right)^n=e^{zn}$も成り立つ

  • ド・モアブルの定理から証明できる

• $\forall a\in \Bbb{C}\forall z\in\Bbb{C};\left(e^{z}\right)^a=e^{za}$が成り立たない

• 多価関数の主値(principal value)の選ばれ方がポイント